第三编
导数及其应用
§31
导数的概念及运算
基础自测
1在曲线yx1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1Δx，2Δy），则答案答案Δx2cos2xcosx（填序号）②afa＞bfb④afb＜bfa
2
y为x

2已知fxsi
xcosx1，则f′x
3若函数yfx在R上可导且满足不等式xf′x＞fx恒成立，且常数ab满足a＞b则下列不等式不一定成立的是①afb＞bfa③afa＜bfb答案①③④
24（2008辽宁理，6）设P为曲线C：yx2x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是0，4
则点P横坐标的取值范围为答案
112
ax
52008全国Ⅱ理，14设曲线ye在点（0，1）处的切线与直线x2y10垂直，则a答案2

例1解
求函数yx21在x0到x0Δx之间的平均变化率
2∵Δyx0x21x01
2x0x21x012x0x21x01


2x0xx2
2x0x21x01
，
f∴
2x0xyx2x0x21x01
例2
求下列各函数的导数：
（1）y
xx5si
xx2
；
（2）y（x1）（x2）（x3）；（3）ysi
（4）y
x2x12cos；24
11x

11x
1

解
（1）∵y
32
x2x5si
xx2
32
x

32
x
3
si
xx2
，
∴y′（x
5

）′x′xsi
x′

32232x3x2xsi
xxcosx2
y（x3x2）（x3）
232
2方法一
2
x6x11x6，∴y′3x12x11方法二y′［（x1）（x2）］′（x3）（x1）（x2）（x3）′［（x1）′（x2）（x1）（x2）′］（x3）（x1）（x2）（x2x1）（x3）（x1）（x2）（2x3）（x3）（x1）（x2）3x12x11（3）∵ysi
∴y′（4）y
xx1cossi
x，222
2
111si
x′（si
x）′cosx222
11x

11x

2，1x1x1x
1x1x
∴y′例3
21x22′21x1x1x2113x4
2
求下列函数的导数：
（1）y
2ysi
2x
3
3yx1x2解（1）设u13xyu
4
f则yx′yu′ux′4u（3）
5
1213x5

2设yuusi
vv2x
2
3
则yx′yu′uv′vx′2ucosv2
4si
2xcos2x33
22si
4x3
3y′x1x2′x′1x2x（1x2′
x21x212x21x2
1x2


例4
（14分）已知曲线y
134x33
1求曲线在x2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程解（1）∵y′x3分6分
2
∴在点P（2，4）处的切r