§86
立体几何中的向量方法一证明平行与垂直
1直线的方向向量与平面的法向量的确定1直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量2平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，
为平面α的法
a＝0向量，则求法向量的方程组为b＝0

2用向量证明空间中的平行关系1设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重合v1∥v22设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或lα存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv23设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或lαv⊥u4设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥βu1∥u23用向量证明空间中的垂直关系1设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2v1⊥v2v1v2＝02设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥αv∥u3设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥βu1⊥u2u1u2＝0
1判断下面结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1直线的方向向量是唯一确定的2平面的单位法向量是唯一确定的3若两平面的法向量平行，则两平面平行4若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行5若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行6若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行×××√××
f2若直线l1，l2的方向向量分别为a＝24，－4，b＝－696，则Al1∥l2Cl1与l2相交但不垂直答案B解析ab＝－12＋36－24＝0，故a⊥b，即l1⊥l2选BBl1⊥l2D以上均不正确


3已知平面α内有一点M1，－12，平面α的一个法向量为
＝6，－36，则下列点P中，在平面α内的是AP233CP－440答案A→解析逐一验证法，对于选项A，MP＝141，→→∴MP
＝6－12＋6＝0，∴MP⊥
，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内→→→→→4已知AB＝15，－2，BC＝31，z，若AB⊥BC，BP＝x－1，y，－3，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________答案4015，－，477BP－201DP3，－34
→→→→解析由题意知，BP⊥AB，BP⊥BC→→ABBC＝0，→→所以BPAB＝0，→→BPBC＝0，1×3＋5×1＋－2×z＝0，即x－1＋5y＋－2×－3＝0，3x－1＋y－3z＝0，4015解得，x＝，y＝－，z＝47719555若A02，，B1，－1，，C－21，是平面α内的三点，设平面α的法向量
＝x，888y，zr