§46
正弦定理、余弦定理及解三角形
1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理abc＝＝＝2Rsi
Asi
Bsi
C1a＝2Rsi
A，b＝2Rsi
_B，c＝2Rsi
_C；ab2si
A＝，si
B＝，si
C2R2R变形＝c；2Rb2＋c2－a2cosA＝；2bcc2＋a2－b2cosB＝；2aca2＋b2－c2cosC＝2ab余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos_A；内容b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C
3a∶b∶c＝si
_A∶si
_B∶si
_C；4asi
B＝bsi
A，bsi
C＝csi
B，asi
C＝csi
A2
111abc1S△ABC＝absi
C＝bcsi
A＝acsi
B＝＝a＋b＋crr是三角形内切圆的半径，并2224R2可由此计算R、r
3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角
图形关系式解的个数a＝bsi
A一解bsi
Aab两解a≥b一解ab一解
f4
实际问题中的常用角1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角如图①．
2方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α如图②．4坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．
1．判断下面结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1在△ABC中，AB必有si
Asi
B．√
2若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是3，2．3若△ABC中，acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形．4在△ABC中，ta
A＝a2，ta
B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．√√×
5从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°×
2．2013湖南在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asi
B＝3b，则角A等于πA12答案D解析在△ABC中，利用正弦定理得πB6πC4πD3
f2si
Asi
B＝3si
B，∴si
A＝π又A为锐角，∴A＝3
32
3．2013陕西设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asi
A，则△ABC的形状为A．锐角三角形C．钝角三角形答案B解析由bcosC＋ccosB＝asi
A，得si
BcosC＋si
CcosB＝si
2A，即si
B＋C＝si
2A，π所以si
A＝1，由0Aπ，得A＝，所以△ABC为直角三角形．24．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．答案27解析由正弦定理知AB3BC＝＝，si
Csi
60°si
AB．直角三角形D．不确定
∴AB＝2si
C，BC＝2si
A又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2si
C＋4si
120°－C＝2si
C＋2r