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第二章
第三节
函数导数及其应用
函数的奇偶性与周期性
结合具体函数,了解函数奇偶性与周期性的含义.◆教材通关◆1.函数的奇偶性
奇偶性
定义如果对于函数fx的定义域内任意
图象特点
偶函数
一个x,都有f-x=fx,那么函数fx是偶函数如果对于函数fx的定义域内任意
关于y轴对称
奇函数
一个x,都有f-x=-fx,那么函数fx是奇函数
关于原点对称
必记结论1.函数奇偶性的几个重要结论1如果一个奇函数fx在原点处有定义,即f0有意义,那么一定有f0=02如果函数fx是偶函数,那么fx=fx.3既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即fx=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.4奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.2.有关对称性的结论1若函数y=fx+a为偶函数,则函数y=fx关于x=a对称.若函数y=fx+a为奇函数,则函数y=fx关于点a0对称.2若fx=f2a-x,则函数fx关于x=a对称;若fx+f2a-x=2b,则函数fx关于点a,b对称.2.函数的周期性1周期函数对于函数y=fx,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有fx+T=fx,那么就称函数y=fx为周期函数,称T为这个函数的周期.
f2最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期.必记结论定义式fx+T=fx对定义域内的x是恒成立的.若fx+a=fx+b,则函数fx的周期为T=a-b11若在定义域内满足fx+a=-fx,fx+a=,fx+a=-a0,则fx为周期函fxfx数,且T=2a为它的一个周期.对称性与周期的关系:1若函数fx的图象关于直线x=a和直线x=b对称,则函数fx必为周期函数,2a-b是它的一个周期.2若函数fx的图象关于点a0和点b0对称,则函数fx必为周期函数,2a-b是它的一个周期.3若函数fx的图象关于点a0和直线x=b对称,则函数fx必为周期函数,4a-b是它的一个周期.小题诊断1.2018肇庆质检下列函数为偶函数的是A.y=si
xC.y=ex
B.y=l
x2+1-xD.y=l
x2+1
解析:A选项定义域为R,f-x=si
-x=-si
x=-fx,∴fx为奇函数;B选项定义域为R,f-x=l
-x2+1--x=l
x2+1+x≠fx,∴函数不是偶函数;C选
1项定义域为R,f-x=e-x=x≠fx,∴函数不是偶函数;D选项定义域为R,f-x=el
-x2+1=l
答案:r
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