第二章
第三节
函数导数及其应用
函数的奇偶性与周期性
结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．◆教材通关◆1．函数的奇偶性
奇偶性
定义如果对于函数fx的定义域内任意
图象特点
偶函数
一个x，都有f－x＝fx，那么函数fx是偶函数如果对于函数fx的定义域内任意
关于y轴对称
奇函数
一个x，都有f－x＝－fx，那么函数fx是奇函数
关于原点对称
必记结论1．函数奇偶性的几个重要结论1如果一个奇函数fx在原点处有定义，即f0有意义，那么一定有f0＝02如果函数fx是偶函数，那么fx＝fx．3既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即fx＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．4奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．有关对称性的结论1若函数y＝fx＋a为偶函数，则函数y＝fx关于x＝a对称．若函数y＝fx＋a为奇函数，则函数y＝fx关于点a0对称．2若fx＝f2a－x，则函数fx关于x＝a对称；若fx＋f2a－x＝2b，则函数fx关于点a，b对称．2．函数的周期性1周期函数对于函数y＝fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fx＋T＝fx，那么就称函数y＝fx为周期函数，称T为这个函数的周期．
f2最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期．必记结论定义式fx＋T＝fx对定义域内的x是恒成立的．若fx＋a＝fx＋b，则函数fx的周期为T＝a－b11若在定义域内满足fx＋a＝－fx，fx＋a＝，fx＋a＝－a0，则fx为周期函fxfx数，且T＝2a为它的一个周期．对称性与周期的关系：1若函数fx的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数fx必为周期函数，2a－b是它的一个周期．2若函数fx的图象关于点a0和点b0对称，则函数fx必为周期函数，2a－b是它的一个周期．3若函数fx的图象关于点a0和直线x＝b对称，则函数fx必为周期函数，4a－b是它的一个周期．小题诊断1．2018肇庆质检下列函数为偶函数的是A．y＝si
xC．y＝ex
B．y＝l
x2＋1－xD．y＝l
x2＋1
解析：A选项定义域为R，f－x＝si
－x＝－si
x＝－fx，∴fx为奇函数；B选项定义域为R，f－x＝l
－x2＋1－－x＝l
x2＋1＋x≠fx，∴函数不是偶函数；C选
1项定义域为R，f－x＝e－x＝x≠fx，∴函数不是偶函数；D选项定义域为R，f－x＝el
－x2＋1＝l
答案：r