【2019最新】高中数学第三章导数及其应用33导数的应用332
利用导数研究函数的极值课堂导学案利用导数研究函数的极值
课堂导学三点剖析一、求函数极值
【例1】确定函数fxx在区间［22］上的单调性并求fx在区间［22］上的x21
极大值、极小值、最大值和最小值
解析：由已知得f′xxx21xx211x2令f′x0解得x1或x1
x212
x212
列出下表：
x
2
21
1
11
1
12
2
f′x

0

0

fx
极小值
极大值
由表可知：fx的极小值是
f1
1121


12
极大值是
f1
12

又f22f22
5
5
∴fx在区间［22］上的最大值是1，最小值是1
2
2
温馨提示
即函数
fx
x
x2
1
的定义域为
R又∵
lim
x
x
x21
0
∴fx在R上的最大值与最小值还分别为1和122
又f00
∴函数fxx在R上的值域为［11］
x21
22
二、极值的应用
【例2】已知函数fxx33ax22bx在点x1处有极小值1试确定a、b的值，并求出fx
的极值
思路分析：先利用极值点是导函数对应方程的根，以及极值点的两个坐标满足函数关系式列
出方程组，即可求出a、b的值，再求函数fx的单调区间
解：由已知，得f113a2b1又f′x3x26ax2b①
∴f′136a2b0②
由①②得a1b132
故函数的解析式为fxx3x2x
14
f由此得f′x3x22x1由二次函数的性质，当x1或x1时，f′x0；当1x1时，
3
3
f′x0因此，在区间∞1和1∞上，函数fx为增函数；在区间1，1内，
3
3
函数fx为减函数因此fxmaxf15fxmi
f11327
温馨提示
此类问题根据极值点为导函数的根构造方程组利用待定系数法求解
三、利用导数极值求函数的解析式
【例3】已知函数fxx33ax22bx在x1处有极小值1，试确定a、b的值，并求fx
的单调区间
解：由

ff
113a2b1解得136a2b0
ab


1312

∴fxx3x2x
∴f′x3x22x1
由f′x0得x1或x1由f′x0得1x1
3
3
∴函数fx的单调递增区间是∞1和1∞单调递减区间是11
3
3
各个击破
类题演练1
求函数yx42x21的极值解：y′4x34x令y′0得x11x20x31将x、y及在相应区间上y′的符号关系列表如下：
x
∞1
1
10
0
01
1
1∞
y′

0

0

0

y
极小值2
极大值1
极小值2
所以当x1时，函数有极小值2；当x0时，函数有极大值1；当x1时函数有极小
值2
变式提升1
求函数y3r