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332利用导数研究函数的极值
课堂导学三点剖析一、求函数极值【例1】确定函数fx
x在区间［22］上的单调性并求fx在区间［22］上的x1
2
极大值、极小值、最大值和最小值解析：由已知得f′x列出下表：
xx21xx211x2令f′x0解得x1或x1x212x212
2110极小值1110极大值122
xf′xfx
2
由表可知：fx的极小值是f1
111极大值是f122211
又f2
22f25511，最小值是22
∴fx在区间［22］上的最大值是温馨提示
xx的定义域为R又∵lim20xx1x111∴fx在R上的最大值与最小值还分别为和22
即函数fx
2
又f00∴函数fx
x11在R上的值域为［］22x1
2
二、极值的应用32【例2】已知函数fxx3ax2bx在点x1处有极小值1试确定a、b的值，并求出fx的极值思路分析：先利用极值点是导函数对应方程的根，以及极值点的两个坐标满足函数关系式列出方程组，即可求出a、b的值，再求函数fx的单调区间解：由已知，得f113a2b12又f′x3x6ax2b①∴f′136a2b0②由①②得a
11b32
322
故函数的解析式为fxxxx由此得f′x3x2x1由二次函数的性质，当x
11或x1时，f′x0；当x1时，33
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11和1∞上，函数fx为增函数；在区间，1内，3315函数fx为减函数因此fxmaxffxmi
f11327
f′x0因此，在区间∞温馨提示此类问题根据极值点为导函数的根构造方程组利用待定系数法求解三、利用导数极值求函数的解析式32【例3】已知函数fxx3ax2bx在x1处有极小值1，试确定a、b的值，并求fx的单调区间
1af113a2b13解得解：由f136a2b01b2
∴fxxxx2∴f′x3x2x1
32
11由f′x0得1x3311∴函数fx的单调递增区间是∞1和∞单调递减区间是133
由f′x0得x1或x各个击破类题演练142求函数yx2x1的极值3解：y′4x4x令y′0得x11x20x31将x、y及在相应区间上y′的符号关系列表如下：
xy′y
∞1
10极小值2
10
00极大值1
01
10极小值2
1∞
所以当x1时，函数有极小值2；当x0时，函数有极大值1；当x1时函数有极小值2变式提升1求函数y32xx的极值
22
解：y′
22xx2241x332xx233xxxr