解答题规范专练五
x2
平面解析几何
1．已知椭圆C1：＋y＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．41求椭圆C2的方程；2设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程．
2
1x2y22．2014合肥模拟已知椭圆：2＋2＝1ab0的长轴长为4，且过点3，2ab1求椭圆的方程；342设A，B，M是椭圆上的三点．若OM＝OA＋OB，点N为线段AB的中点，55
C－

66，0，D，0，求证：NC＋ND＝2222
x2y223．已知椭圆C：2＋2＝1ab0的长轴长为4，离心率e＝ab2
1求椭圆的方程；2设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于
x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝3分别交于M，N两点，
求线段MN的长度的最小值．
1
f答案
yx31．解：1由已知可设椭圆C2的方程为2＋＝1a2，其离心率为，a42
故
2
2
a2－43＝，解得a＝4a2y2x2
故椭圆C2的方程为＋＝11642A，B两点的坐标分别记为xA，yA，xB，yB，由OB＝2OA及1知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx将y＝kx代入＋y＝1中，4得1＋4kx＝4，所以xA＝
222
x2
2
421＋4k
将y＝kx代入＋＝1中，164得4＋kx＝16，所以xB＝
2222
y2
x2
1624＋k
2
又由OB＝2OA，得xB＝4xA，即16162＝2，4＋k1＋4k
解得k＝±1故直线AB的方程为y＝x或y＝－x2．解：1由已知可得
a＝2，312＋2＝1，a4b
故
a＝2，b＝1，
所以椭圆的方程为＋y＝143422证明：设Ax1，y1，Bx2，y2，则＋y＝1，＋y2＝1由OM＝OA＋OB，4455
21
x2
2
x21
x22
4343得Mx1＋x2，y1＋y25555
2
f因为M是椭圆C上一点，34x1＋x2255342所以＋y1＋y2＝1，45534x1x2x1232x2242即＋y1＋＋y2＋2×××＋y1y2＝1，5554454324234x1x2x1x2得＋＋2×××＋y1y2＝1，故＋y1y2＝0555544又线段AB的中点N的坐标为
22
x1＋x2，y1＋y2，22x1＋x222
2＋2
2
所以
2
y1＋y22＝2
1x121x2x1x22＋y1＋24＋y2＋4＋y1y2＝1，24从而线段AB的中点N
x1＋x2y1＋y2
2，2
在椭圆＋2y＝1上．2
x2
2
又椭圆＋2y＝1的两焦点恰为2
x2
2
C－

66，0，D，0，22
所以NC＋ND＝223．解：1由题意得2a＝4，故a＝2，∵e＝＝
ca
2xy222，∴c＝2，br