二次拉格朗日插值多项式为
4
f2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编
Lxx4x21x0x21x0x400402404222024

8x



4x2



2

8
2xx22
L864628266224208508
6
2
2
9
绝对误差为：cosL32429348200153
662
9
18
cosL
相对误差为：
66L
9348200179482
6
余项为：
rxsi
xx4x2，其中，023
其余项的上界为：rx1xx4x26
r6

16
6
6
46
2

364
00239
比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。
6已知函数值f06f110f346f482f6212，求函数的四阶均差
f01346和二阶均差f413。（均差的计算）
解：采用列表法来计算各阶均差，有
x
y
一阶均差
二阶均差
三阶均差
0
6
1
10
4
3
46
18
143
4
82
36
6
13
6
212
65
293
1115
从表中可查得：f013461。15
x
y
一阶均差
二阶均差
4
82
1
10
723
3
46
18
6
四阶均差115
5
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故f4136。其实，根据均差的对称性，f413f1346，该值在第一个表中
就可以查到。
7设fxxx0xx1xx
求fx0x1xp之值，其中p
1，而节点
xii01
1互异。（均差的计算）
解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有
fx0x1xp

pi0
xi

x0xi

x1xi

fxixi1xi
xi1xi

xp1xi

xp
而fxi00ip，故fx0x1xp0。
8如下函数值表
x
0
1
2
4
fx
1
9
23
3
建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）
解：
先构造均差表
x
fx
一阶均差
0
1
1
9
8
2
23
14
4
3
10
故Nx18x3xx111xx1x2。4
二阶均差
38
三阶均差114
9求一个次数小于等于三次多项式px，满足如下插值条件：p12，p24，
p23，p312。（插值多项式的构造）
解法一（待定系数法）：设pxax3bx2cxd，则
px3ax22bxc，由插值条件，有
abcd28a4b2cd412a4bc327a9b3cd12
解得：a2b9c15d6。
6
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故px2x39x215x6
解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表
xy一阶差商二阶差商
12
24
2
24
3
1
312
8
5
三阶差商2
故px22x1x1x22x1x222x39x215x6
10构造一个三次多项式Hx，使它满足条件H01H10H21Hr