综合小测2130
17如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱。（I）求证：BD⊥平面ACC1A；（II）若二面角C1BDC的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小。
17．解法一：解法一：（1）∵ABCDA1B1C1D1是正四棱柱∴CC1⊥平面ABCD∴BD⊥CC1∴ABCD是正方形，∴BD⊥AC又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1C，∴BD⊥平面ACC1A1（II）设BD与AC相交于O，连接C1O。∵CC1⊥平面ABCD、BD⊥AC。∴BD⊥C1O∴∠C1OC是二面角C1BDC的平面角
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∴∠C1OC60°连接A1B∵A1C1∥AC∴∠A1C1B是BC1与AC所成角设BCa则CO
在△A1BC1中，由余弦定理得
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos18．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝2，⑴求证：平面AB1C⊥平面BB1C；⑵求点B到平面AB1C的距离。，，
18．⑴由已知条件立即可证得，⑵在平面BB1C内作BD⊥B1C于D，由⑴得BD⊥面AB1C，∴BD为B到面AB1C的距离，∴换）19如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2
2
（本题也可用体积转
的等腰梯形，
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（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小
19．．解法一（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）
从而所以AC⊥BO1（II）解：因为所以BO1⊥OC，
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由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，量设是0平面O1AC的一个法向量，
是平面OAC的一个法向
由
得
的方向可知，，
设二面角OACO1的大小为，由、所以cos
，
即二面角OACO1的大小是
20．如图，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120，求：⑴A、D连线和平面DBC所成的角；⑵二面角ABDC的正切值。
20．⑴作AO⊥BC交BC的延长线于O，∵面ABC⊥面BCD，∴OA⊥面BCD，连OD，则∠ADO就是AD与平面BCD所成的角，可求得∠ADO＝45⑵作OE⊥BD于E，连AE，则BD⊥AE，∴∠AEO就是二面角A－BD－C的平面角的补角，
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∵∠ABO＝60，∴在Rt△AOE中，
，
，∵∠EBO＝60，∴，∴二面角A－BD－C的正切值为－2
21．如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱（1）证明FO平面CDE；（2）设，证明EO⊥平面CDF。
。
21（1）证明：取CD中点M，连结OM，在矩形ABCD中。连结EM，
，又
，则
于是四边形EFOM为平r