20192020年高考数学专题复习导练测第九章高考专题突破五高
考中的圆锥曲线问题理新人教A版
x2y2
x2y2
1．已知双曲线a2－b2＝1a0，b0和椭圆16＋9＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是
椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．x2y2
答案4－3＝1
解析
x2y2由题意得，双曲线a2－b2＝1
a0，b0的焦点坐标为
7，0，－7，0，c＝
7；
且双曲线的离心率为
2×
74＝
7c2＝a
a＝2，b2＝c2－a2＝3，
x2y2双曲线的方程为4－3＝1
x2y22．已知椭圆a2＋b2＝1
ab0与抛物线y2＝2px
p0有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物
线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆xa22＋yb22＝1ab0的离心率为____________．
答案2－1
解析因为抛物线y2＝2pxp0的焦点F为p2，0，设椭圆另一焦点为E
当x＝p2时代入抛物线方程得y＝±p，
又因为PQ经过焦点F，所以Pp2，p且PF⊥OF
所以PE＝
pp2＋2
2＋p2＝2p，
PF＝p，EF＝p
故2a＝2p＋p2c＝p，e＝22ac＝2－1
x2y23．若双曲线a2－3＝1
的一条渐近线被圆x－22＋y2＝4
所截得的弦长为
2，则该双曲线的实
轴长为
A．1B．2C．3D．6
答案B
解析
x2y2双曲线a2－3＝1
的渐近线方程为
y＝±
a3x，即
3x±ay＝0，圆x－22＋y2＝4的圆
f心为C20，半径为r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距CD＝22－12＝3，另一方面，
圆心C20到双曲线xa22－y32＝1的渐近线
3x－ay＝0的距离为d＝
3×2－a×0
3＋a2
＝
233＋a2，
所以23＝3，解得a2＝1，即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝23＋a2
x2y24．若双曲线a2－b2＝1
a0，b0的渐近线与抛物线
y＝x2＋2
有公共点，则此双曲线的离心
率的取值范围是
A．3，＋∞
B．3，＋∞
C．13
D．13
答案A
解析依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±bax，与抛物线方程联立消去y得x2±bax＋2＝0
∵渐近线与抛物线有交点，
b2∴Δ＝a2－8≥0，求得
b2≥8a2，
∴c＝a2＋b2≥3a，∴e＝ca≥3
5．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则O→AO→B等于A34B．－34C．3D．－3
答案B解析方法一特殊值法
抛物线的焦点为F12，0，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A12，1，B12，－1，∴O→AO→B＝12，112，－1＝14－1＝－34方法二设Ax1，y1，Bx2，y2，则O→AO→B＝x1x2＋y1y2
由抛物线的过焦点的弦的性质知：x1x2＝p42＝14，y1y2＝－p2＝－1
∴O→AO→B＝14－1＝－34
f题型一圆锥曲线中的范围、最值问题
例1如图所示，在直角坐标系xOy中，点P1，12到抛物线Cr