u和v，即
Fuv



fx
y
expj2ux

vydxdy
类似地，逆变换为：
fxy



Fuv
expj2ux

vydudv
对于离散函数来说：
Fu
1
M1
j2ux
fxexp
u012M1
Mx0
M
相应的，逆变换为：
M1
fxFuexp
j2ux
x012M1
u0
M
同样地，将离散傅里叶变换推广到两个变量u和v，即
Fu，v
1MN
M1N1
fxyexpj2uxM
x0y0
vyN
其中u012M1v012N1。
同样，二维离散傅里叶逆变换如下：
M1N1
fxyFuvexpj2uxMvyNu0v0
其中u012M1v012N1。
通常在进行傅里叶变换之前用1xy乘以输入的图像，由于指数的性质，很容易得
到：
fxy1xyFuM2vN2这个等式说明，用1xy乘以fxy可将Fuv原点变换到频率坐标下的M2N2，二维傅里叶变换设置的MN区域的中心。如果fxy是实函数，则它的傅里叶变换必然为对称的，即
3
fFuvFuv
其中“”表示对复数的标准共轭操作。由此，它遵循
FuvFuv
其中，傅里叶变换的频率谱为对称的。
22几个基本的滤波器
我们将考虑三种滤波器：理想滤波器、巴特沃斯滤波器和高斯滤波器。巴特沃斯滤波器有一个参数，成为滤波器的“阶数”。当参数的值比较高时，很接近理想滤波器。因此巴特沃斯滤波器可看成是另外两种滤波器的过渡。在频域里，滤波器分为低通滤波器、高通滤波器等。接下来我们将详细介绍低通滤波器，而由相应的理想低通滤波器、巴特沃斯低通滤波器和高斯低通滤波器很容易就得到相应的高通滤波器，这里不做过多介绍。
边缘和其他剧烈变化的图像在灰度级中主要处于傅里叶变换的高频部分，因此，平滑模糊可以通过衰减指定图像傅里叶中高频成分的范围来实现：
GuvHuvFuv其中Fuv是被平滑的图像傅里叶变换。目标是选择一个滤波器变换函数Huv，以通过衰减Fuv的高频成分产生Guv。
221理想低通滤波器
低通滤波是要保留图像中低频分量去除高频分量。高频分量处在距变换远点的距离比指
定距离D0远很多的位置。这种为二维理想低通滤波器ILPF，其变换函数为：
Huv

10
Duv

D0
Duv

D0
其中D0是指定的非负数值，Duv是uv距离频率矩形中心的距离。如果要研究的图
像的尺寸为MN，则
4
fDuvuM22vN2212Huv
1
DuvD
0
如上图所示，完整的滤波器可以将此横截面绕原点旋转360来实现。其中D0成为“截止
频率”。理想低通滤波器的这种陡峭的截止频率虽然可以在计算机上实现，但是，不能用电
子部件来实现，所以理想滤波器r