角谷猜想证明方法之一：排除法。虽然一般的角谷猜想扩展的题目都可以发现反例子，除了化简版本以外，这证明了那些扩展题目都是错误的，但是对于它们的研究有助于发现反例子的规律目前已经总结出的主反例子的规律是：1、无限归结因为是无限的所以没有办法归结于1。（数量必定无穷多个）2、循环归结因为没完没了而无法归结于1（泛指3个或者是3个以上的奇数出现的病态循环归结）。3、互相归结同样因为没完没了而无法归结于1（特指2个奇数出现的病态互相归结）。以上的这3种主反例子的病态归结都在角谷猜想的深度扩展题目里面有真实存在的例子。对于角谷猜想的原题以及化简版本都是目前没有发现任何反例子的，化简版本只简单想一下就知道是成立而不存在反例子的，原题版本则需要证明是否存在反例子，使用排除法，首先排除偶数，再次排除能被3整除的奇数，以上的这3种反例子的类型都出现在奇数，而且是不能被3（或者是B）整除的奇数该规律对于一切的角谷猜想扩展题目都适用。也就是说只剩下不能被3（或者是B）整除的奇数没有被排除。一旦今后有什么办法可以排除这一个类型的奇数也不存在主反例子，那么角谷猜想被证明就会大功告成，圆满结束。偶数、能被3（或者是B）整除的奇数就算出现反例子，也只能是牵连反例子。还有更加严格的证明，只可惜地方太小无法出示。任何一道角谷猜想的深度扩展的题目只需要找到2个主反例子就会出现数量无穷多个牵连反例子。也就是说一个反例子就足够推翻一个猜想。其中主反例子都只出现在不能被3（或者是B）整除的奇数，数量有可能是无穷多个。牵连反例子都只出现在能被3（或者是B）整除的奇数，或者是偶数，数量都必定是无穷多个。角谷猜想证明方法之二：逆向思维法
任给一个正整数
，如果
能被a整除，就将它变为
a，如果除后不能再整除，则将它乘b加c（即b
c）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到d吗？对此题的答案只能有3种：不一定、一定不、一定都。以下都是一定都的情况一abcdm
f二amb1c1d0三ambcd1以上（m1）以上的，都不必证明了四a2b2m1c1d1这个没有被任何人证明过！目前，只有b1或者0时，能够被证明。）五a2bcd2m1（这个没有被任何人证明过！）六a2bcd（这个没有被证明，比如bc10它不是普遍成立的只有在某些特殊情况下成立有一个奇异的现象：如果把角谷猜想记作F231那么F233m3mm为任何自然数），目r