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ABAC2BC25
F
DE
I2
又CD⊥AB,由射影定理可得ADAC29,故BDABAD16,
AB5
5
I1
A
C
CDAC2AD2125
因为
I1
E
为直角三角形
ACD
的内切圆的半径,所以
I1
E

12
AD
CD
AC

35

连接DI1、DI2,则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线,所以∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC=∠I2DB
3
=45°,故∠I1
D
I2
=90°,所以I1
D⊥I2
D,DI1

si

I1EADI1

5si
45

325

同理,可求得I2F
45
,DI2

425

所以I1
I2=
DI12DI22
2
三.(本题满分25分)已知abc为正数,满足如下两个条件:
fabc32

bcacababc1

bc
ca
ab4
证明:以abc为三边长可构成一个直角三角形
证法1将①②两式相乘,得bcacababcabc8,
bc
ca
ab
即bc2a2ca2b2ab2c28,
bc
ca
ab
即bc2a24ca2b24ab2c20,
bc
ca
ab
即bc2a2ca2b2ab2c20,
bc
ca
ab
即bcabcacabcababcabc0,
bc
ca
ab
即bcaabcabcabcabc0,abc
即bca2aba2b2c20,即bcac2ab20,
abc
abc
即bcacabcab0,abc
所以bca0或cab0或cab0,即bac或cab或cba
因此,以abc为三边长可构成一个直角三角形
证法2结合①式,由②式可得322a322b322c1,
bc
ca
ab4
变形,得10242a2b2c21abc

4
又由①式得abc21024,即a2b2c210242abbcca,
代入③式,得1024210242abbcca1abc,即abc16abbcca40964
a16b16c16abc16abbcca256abc163
4096256321630,所以a16或b16或c16结合①式可得bac或cab或cba
因此,以abc为三边长可构成一个直角三角形
第二试(B)
一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同
fA
二.(本题满分25分)已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线
CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点PM、QN的中
H
点分别为E、F求证:EF∥AB
解因为BN是∠ABC的平分线,所以ABNCBN
N
F
QP
又因为CH⊥AB,所以
E
CQNBQH90ABN90CBNCNB,
C
M
B
因此CQNC
又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以CFB90CHB,因此C、F、H、B四点共圆又FBHFBC,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上
同理可证,点E在CH的中垂线上因此EF⊥CH又AB⊥CH,所以EF∥AB
三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同
第二试(C)
一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同
二.(本题满分25分)题r
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