20192020年初中数学联合竞赛试题参考答案_
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1设a71，则3a312a26a12
A24
B25
C4710
D4712
2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝
A72
B10
C105
D73
（）（）
3．用x表示不大于x的最大整数，则方程x22x30的解的个数为
A1
B2
C3
D4
（）
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两
个，它们的面积相等的概率为
（）
3
A
14
3
B
7
1
C
2
4
D
7
A
D
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半
圆的切线AE，则si
CBE＝
（D）
6
A
3
2
B
3
1
C
3
10
D

10
E
B
C
6．设
是大于1909的正整数，使得
1909为完全平方数的
的个数是2009

A3
B4
C5
D6
（）
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知t是实数，若ab是关于x的一元二次方程x22xt10的两个非负实根，则a21b21的
最小值是____________2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DEBC交AC于点E，作DFAC交BC于点F，已知△ADE、
△DBF的面积分别为m和
，则四边形DECF的面积为______
3．如果实数ab满足条件a2b21，12ab2a1b2a2，则ab______
4．已知ab是正整数，且满足21515是整数，则这样的有序数对ab共有_____对ab
第一试答案：ACCBDB；－3，2m
，－1，－7第二试（A）
f一．（本题满分20分）已知二次函数yx2bxcc0的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的
交点为C设△ABC的外接圆的圆心为点P
（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC＝2，求b和c的值
解（1）易求得点C的坐标为0c，设Ax10，Bx20，则x1x2b，x1x2c设⊙P与y轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝
OC×OD，则ODOAOBx1x2c1
OC
cc
因为c0，所以点C在y轴的负半轴上，从而点D在y轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为01
（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点C的坐标为01，
即c1
又ABx1x2x1x224x1x2b24cb24，所以
S△ABC

12
ABOC

12
b2412，解得b23
二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，
AC＝3，BC＝4，求I1I2
B
解作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，r