xy及f11求fx
解:∵fx的定义域为N,取y1则有fx1fxx1
∵f11∴f2f12f3f23……f
f
1
以上各式相加,有f
123……
1∴fx1xx1xN
2
2
二、利用函数性质,解fx的有关问题
1判断函数的奇偶性:
例7已知fxyfxy2fxfy对一切实数x、y都成立,且f00求证fx
为偶函数。
证明:令x0则已知等式变为fyfy2f0fy……①
在①中令y0则2f02f0∵f0≠0∴f01∴fyfy2fy∴
fyfy∴fx为偶函数。
2确定参数的取值范围
例8:奇函数fx在定义域(1,1)内递减,求满足f1mf1m20的实数m的取值范
围。
f解:由f1mf1m20得f1mf1m2,∵fx为函数,∴
f1mfm21
11m1又∵fx在(1,1)内递减,∴1m2110m1
1mm21
3解不定式的有关题目
例9:如果fxax2bxc对任意的t有f2tf2t比较f1、f2、f4的大小
解:对任意t有f2tf2t∴x2为抛物线yax2bxc的对称轴
又∵其开口向上∴f2最小,f1f3∵在[2,+∞上,fx为增函数
∴f3f4∴f2f1f4
五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。例1、已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间-2,1上的值域。
分析:由题设可知,函数f(x)是究它的单调性。
的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研
解:设
,∵当
,∴
,
∵
,
∴
,即
,∴f(x)为增函数。
在条件中,令y=-x,则
,再令x=y=0,则f(0)=2f(0),∴f(0)=0,
故f(-x)=f(x),f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2f(-1)=-4,∴f(x)的值域为[-4,2]。
例2、已知函数f(x)对任意
,满足条件f(x)+f(y)=2f(x+y),且当x>0时,f(x)
>2,f(3)=5,求不等式
的解。
分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,
也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。解:设
,∵当
,∴
,则
f,
即
,∴f(x)为单调增函数。∵
,又∵f(3)
=5,∴f(1)=3。r