充分条件与必要条件
1定义：对于“若p则q”形式的命题：①若p②若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；q，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若qp且pq，则p是q成立的必要不充分条件；④若既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充分必要条件（充要条件）⑤若pq且qp，则p是q成立的既不充分也不必要条件．从集合的观点上关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断p、q相应的集合关系．建立与p、q相应的集合，即pAxpx成立若AB，则p是q的充分条件，若A若BA，则p是q的必要条件，若B若AB，则p是q成立的充要条件；若AB且BA，则p是q成立的既不充分也不必要条件．

，qBxqx成立．
B，则p是q成立的充分不必要条件；A，则p是q成立的必要不充分条件；
例1已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q
的A．充分但不必要条件C．充要条件B．必要但不充分条件D．既不充分也不必要条件
解
∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根∴x1＋x2＝1－6＝－5．
∴x1，x2的值分别为1，－6，
因此选A．
变式1设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为x－2＜3，那么甲是乙的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例2p是q的充要条件的是
1
fA．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B．pq但qp，p是q的充分非必要条件；对C．pq且qp，p是q的必要非充分条件；

对D．pq且qp，即pq，p是q的充要条件．选D．
说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解例3（2009年北京）“A．充分不必要条件C．充要条件分解：当

6
2kkZ”是“cos2
B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
1”的（2
）

6
2kkZ时，cos2
c4oks3

1cos，即32
1pq．反之，当cos2时，有22kkkZ，236或22kkkZ，即qp．361综上所述，“2kkZ”是“cos2”的充分不必要条件，故r