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于是00，当0xx0时，有fxa，
所以
limfxa
xx0
再证必要性：即若limfxa，则limfxlimfxa
xx0
xx0
xx0
由limxx0
fxa知，
0
0，当0
xx0
时，有
fxa

，
由0xx0就是0x0x或0xx0，于是00，当
0x0x或0xx0时，有fxa
所以
limfxlimfxa
xx0
xx0
综上所述，limfxa的充要条件是fx在x0处的左、右极限均存在且都等于axx0
1
21利用极限的几何意义确定limx2a和limex；
x0
x0
2
设fx
e
1x

x0，问常数a为何值时，limfx存在
x2ax0
x0
解：（1）因为x无限接近于0时，x2a的值无限接近于a，故limx2aax0
1
1
当x从小于0的方向无限接近于0时，ex的值无限接近于0，故limex0x0
（2）若limfx存在，则limfxlimfx，
x0
x0
x0
由（1）知
limfxlimx2alimx2aa，
x0
x0
x0
1
limfxlimex0
x0
x0
所以，当a0时，limfx存在。x0
3利用极限的几何意义说明limsi
x不存在x
解：因为当x时，si
x的值在1与1之间来回振摆动，即si
x不无限接近某一定直线yA，亦即yfx不以直线yA为渐近线，所以limsi
x不存在。
x
习题231举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量
解：例1：当x0时，ta
xsi
x都是无穷小量，但由si
xcosx（当x0时，ta
x
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cosx1）不是无穷大量，也不是无穷小量。例2：当x时，2x与x都是无穷大量，但2x2不是无穷大量，也不是无穷x
小量。
例3：当x0时，ta
x是无穷小量，而cotx是无穷大量，但ta
xcotx1不
是无穷大量，也不是无穷小量。2判断下列命题是否正确：1无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；2有界函数与无穷小量之积为无穷小量；3有界函数与无穷大量之积为无穷大量；4有限个无穷小量之和为无穷小量；5有限个无穷大量之和为无穷大量；
6yxsi
x在∞，∞内无界，但limxsi
x≠∞；x
7无穷大量的倒数都是无穷小量；
8无穷小量的倒数都是无穷大量
解r