2012年永春一中自主招生数学试卷及参考答案（二）压轴题
25、在RTΔABC中，AB10，BC6，P在AB上运动，Q在ACCB上运动，APm，AQx；（1）若PQ⊥AC求x的值（用含m的代数式表示）；（2）当0m≤4时；①若ΔAPQ为等腰三角形，求x的值（用含m的代数式表示）；②当Q在BC上时，是否存在点P使得APPQ，若存在，求m的值，若不存在，说明理由。
26、如图，已知点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）本题的关键是得出D点的坐标，CD平分∠BCE，如果连接O′D，那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B2∠BCD∠BCE90°由此可得出D的坐标为（4，5）．根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）本题要分两种情况进行讨论：
f①过D作DP∥BC，交D点右侧的抛物线于P，此时∠PDB∠CBD，可先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据BC与DP平行，那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同，因此可根据D的坐标求出DP的解析式，然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点．②同①的思路类似，先作与∠CBD相等的角：在O′B上取一点N，使BNBM．可通过证△NBD≌△MDB，得出∠NDB∠CBD，然后同①的方法一样，先求直线DN的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标．综上所述可求出符合条件的P点的值．
解：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，∴∠OCA∠OCB90°，又∵∠OCB∠OBC90°，∴∠OCA∠OBC，又∵∠AOC∠COB90°，∴△AOC∽△COB，∴．
又∵A（1，0），B（9，0），∴，
解得OC3（负值舍去）．∴C（0，3），故设抛物线解析式为ya（x1）（x9），∴3a（01）（09），解得a，∴二次函数的解析式为y（x1）（x9），即yx2x3．
（2）∵AB为O′的直径，且A（1，0），B（9，0），∴OO′r