x的零点
当x01时，gxl
x0，所以只需考虑fx在（01）的零点个数
若a3或a0，则fx3x2a在（01）无零点，故fx在（01）单调，而
f01，f1a5，所以当a3时，fx在（0，1）有一个零点；当a0时，
4
4
fx在（0，1）无零点
若3a0，则fx在（0，a）单调递减，在（a，1）单调递增，故当
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3
word
fxa时，fx取的最小值，最小值为fa2aa1
3
3334
①若fa＞0，即3＜a＜0，fx在（01）无零点
3
4
②若fa0，即a3，则fx在（01）有唯一零点；
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4
③若fa＜0，即3a3，由于f01，f1a5，所以当
3
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4
4
5a3时，fx在（01）有两个零点；当3a5时，fx在（01）有一
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4
个零点
综上，当a3或a5时，hx由一个零点；当a3或a5时，hx有两
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4
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个零点；当5a3时，hx有三个零点
4
4
13【2016新课标1】21已知函数fxx2exax12有两个零点
I求a的取值范围；
II设x1x2是fx的两个零点，证明：x1x22
【解析】
（I）fxexx2ex2ax1x1ex2a
①当a0时，fxx2ex，此时函数fx只有一个零点，不符合题意舍去；
②当a0时，由fx0x1，由fx0x1，
所以fx在1上递减，在1上递增，
fxmi
f1e0，又f2a0，所以函数fx在1上只有一个零点，当x时，ex0，此时，fx，所以函数fx在1上只有一个零点
此时函数fx
有两个零点
③当ea0时，0l
2a1，由fx0x1xl
2a，2
由fx0l
2ax1所以fx在l
2a和1上递增，在l
2a1上递减，
fxmi
f1e0，fxmaxfl
2al
2a22aal
2a120此时函数fx至多一个零点，不符合题意，舍去；
④当ae时，fxexx2ex2ax1x1exe0恒成立，此时函2
数fx至多一个零点，不符合题意，舍去
word
f⑤当ae时，l
2a1，由fx0x1xl
2a，由2
fx01xl
2a所以fx在1和l
2a上递增，fx在1l
2a上递减，
fxmaxf1e0，因为fx在1l
2a上递减，所以
fxmi
fl
2a0此时函数fx至多一个零点，不符合题意，舍去
综上可知a0
II由I若
x1
x2
是
f
x
的两个零点，则
a

0
，不妨令
x1

x，则2
x1

1

x2
要证x1x22，只要证x12x2，∵x21，2r