2

其中，每一列为正交函数集中的一个函数，小括号内的序号为正交函数的采样点次序。因此，Φ实质上是由φj向量组成的正交变换矩阵，它将x变换成a。如果对c种模式类别ii1c做离散正交展开，则对每一模式可分别写成：xiai，其中矩阵取决于所选用的正交函数。对各个模式类别，正交函数都是相同的，但其展开系数向量ai则因类别的不同模式分布而异。KL展开式的性质KL展开式的根本性质是将随机向量x展开为另一组正交向量j的线性和，且其展开式系数aj（即系数向量a的各个分量）具有不同的性质。在此条件下，正交向量集φj的确定：设随机向量x的总体自相关矩阵为RExxT。由
xajjaT1tT21将xΦa代入RExxT，得：REΦaaTΦTΦ
j1


EaaTΦT。要求系数向量a的各个不同分量应统计独立，即应使a1a2…aj…a
满足如下关系：Eajak
j0
ifjk。写成矩阵形式，应使：EaaTDifjk
λ
，其中Dλ为
100000j0对角形矩阵，其互相关成分均为0，即：D000000

f则：RΦDλΦT。由于Φ中的各个向量φj都相互归一正交，故有：RΦΦDλΦTΦΦDλ其中，φj向量对应为：Rφjλjφj。可以看出，λj是x的自相关矩阵R的特征值，φj是对应的特征向量。因为R是实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量应正交，即：
jTk
1ifjk。由式1，KL展开式系数应为：a0ifjk
ΦTx
KL展开式系数的计算步骤KL展开式系数可如下求得：求随机向量x的自相关矩阵：RExxT；求出矩阵R的特征值λj和对应的特征向量φj，j12…
，得矩阵：
12
；计算展开式系数：a
ΦTx
532按KL展开式选择特征KL展开式用于特征选择相当于一种线性变换。若从
个特征向量中取出m个组成变换矩阵，即12…m，m
此时，是一个
m维矩阵，x是
维向量，经过Tx变换，即得到降维为m的新向量。问题：选取变换矩阵Φ，使得降维后的新向量在最小均方差条件下接近原来的向量x。对于x
a，现仅取m项，对略去的系数项用预先选定的常数b代替，此时对x
j1jj


的估计值为：x
ajj
j1
2
m
jm1
b


j
。则产生的误差为：x
xx
jm1
a


j
bj
则Δx的均方误差为：
Ex2r