中考数学重难点专题讲座
第四讲一元二次方程与二次函数
【前言】前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。
第一部分
【例1】2010，西城，一模
真题精讲
已知：关于x的方程mx23m1x2m30．⑴求证：m取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数y1mx23m1x2m1的图象关于y轴对称．①求二次函数y1的解析式；②已知一次函数y22x2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；
0⑶在⑵条件下，若二次函数y3ax2bxc的图象经过点5，，且在实数范围内，
对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2，均成立，求二次函数
y3ax2bxc的解析式．
f【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数y2恰好是抛物线y1的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，y3用只含a的表达式表示出来再利用y1≥y3≥y2构建两个不等式最终分将析出a为何值时不等式取等号于是可以得出结果
【解析】解：（1）分两种情况：当m0时，原方程化为3x30，解得x1，（不要遗漏）∴当m0，原方程有实数根当m0时，原方程为关于x的r