点的场强为
E
p2x2y2z2
i
3pxy
j
3pxz
k
40
x2y2z2
52
40
x2y2z2
52
40
x2y2z2
52
当P点在电偶极子轴延长线上时，y0，z0，P点的场强为
E

p20x3
i
当P点在电偶极子轴中面线上时，x0，P点的场强为

E40
py2z2
32
i
12证明本章§2习题8附图中电四极子在它的轴线延长线上的电位为
U

140
Qr3
（rl），
式中Q2ql2叫做它的电四极矩。利用梯度验证，所得场强公式与该题一致。
证明：可以直接利用点电荷电位公式和电位叠加原理计算，也可以看成两个电偶极子进行计算。
见图，左、右两个电偶极子在P点的电位分别为
U左

q40

1r

1r



q40
l
r
l2
2
U右

q40

1r

1r


q40
l
r
l2
2
故P点的电位为
U
U左
U右

ql40

2lr3

Q40r3
（Q2ql2）
U3QEr40r4
f13一电四极子如附图所示。证明：当rl时，它在Pr点产生的电位为
U3ql2si
cos40r3
（rl），
图中极轴通过正方形中心O点，且与一对边平行。
解：
14求本章§2习题12中均匀带电圆环轴线上的电位分布，并画Ux曲线。解一：设圆环半径为R，所带电量为q，建立如图所示坐标。
在圆环上任取一长为dl的电荷元，它的电量为：
dqdlqdl2R
（电荷线密度：q）2R
电荷元dq在P点产生的电势为：
dq
qdl
dU

40r820RR2x2
整个圆环在P点产生的电势为：
2R
UdU
qdl

q
0820RR2x240R2x2
解二：均匀带电圆环轴线上P点的场强为
E
qx
3
40R2x22
则P点的电位为


UPEdlxEdx


x40
qxR2x2
3dx2

q
40R2x2
fUx曲线见图。
15求本章§2习题13中均匀带电圆面轴线上的电位分布，并画Ux曲线。解：将均匀带电圆面分割成同心圆环，半径为r、宽为dr的圆环在轴线上的电位分布为
dU
dq
2erdr
40r2x240r2x2
则均匀带电圆面轴线上的电位为
R
UdU
2erdr
040r2x2
e20
R2x2x
Ux曲线见图。
16求本章§3习题3中同心球面在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的电位分布，并画Ur曲线。
解：在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的场强分布为
Ⅰ区域内，rR1，E10；
Ⅱ区域内，R1

r

R2
，E2

Q140r2
；
Ⅲ区域内，r

R2
，E3

Q1Q240r2
。
则电位分布为
Ⅰ区域内，rR1
U1

Edl
P

R1r
E1dr

R2R1
E2dr


R2E3dr

140

Q1R1

Q2R2

Ⅱ区域内，R1rR2
U2

Edl
P

R2r
E2dr


R2E3dr
f
140

Q1r

Q2R2

Ⅲ区域内，rR2
U3

Edl
P
r
E3dr

Q1Q240r
曲线见图。
17在上题中，保持内球上电量Q1不变，当外球电量Q2改变时，试讨论三个区域内的电r