以B为中心，l为半径的半圆。A点有正电荷q，B点有负电荷q。
⑴把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它作了多少功？
⑵把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处，电场力对它作了多少功？解：⑴选无穷远为零电位点，则O点的电位为
UO0
D点的电位
UD


q40l

q40
3l


q60l
O、D两点的电位差为
UOD

q60l
f故把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力所作的功为
AOD

q0UOD

q60l
（q0为单位正电荷）
⑵
UD
q60l
故把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处，电场力所的功为
AD

q0UD

q60l
（q0为单位负电荷）
9两个点电荷的电量都是q，相距为l。求中垂面上到两者联线中点为x处的电位。
解：如图，两点电荷在P点产生的电位分别为
q
q
U1U240r40x2l24
由电位叠加原理，P点的电位为
q
UU1U220
x2l24
10有两个异号点电荷
e和e（
1），相距为a。
⑴证明电位为零的等位面是一个球面；
⑵证明球心在这两个点电荷的延长线上，且在e点电荷的外边；
⑶这球的半径为多少？
证明：⑴建立如图所示的坐标系，点电荷
e、e在P点产生的电位为
U

e

e
40x2y2z240x2ya2z2
对于电位为零的等位面有

e
e

40x2y2z240x2ya2z2

x2


y


2a
2

2
1


z2



a2
21
f所以电位为零的等位面是一个球面。
⑵
球心的坐标为：（0，

2
2a1
，0）

1，
aa
1

1
2
球心在点电荷
e、e连线的延长线上，且在e是外边。
⑶球的半径为

aR
21
11
求电偶极子
p

ql电位的直角坐标表达式，并用梯度求出场强的直角分量表达式。
解：建立如图所示的坐标系。在电偶极子电场中任取一点P，P点到电
偶极子轴线中点O的距离为r，q和q到P点的距离分别为r1和
r2。由点电荷电势公式和电势叠加原理可得P点的电势为
U
U1
U2

140
qr1

140
qr2

q40
r2r1r1r2
因为r
l
，所以r1

r

lcos2
，r2

r

l2
cos
，代入上式可
得P点的电势为
U1qlcos1pcos
40r2
40r2
式中rx2y2z2，为电偶极子中心O与场点P的连线和电偶极子轴的夹角，如图所示，且
cos
x
，则P点的电势可表示为
x2y2z2
U140
px
x2y2z2
32

可见电势U是P点坐标xyz的函数。P点场强E在x，y、z方向的分量分别为
Ex
Ux



1
x40
px

p2x2y2z2
x2y2z2
32

40
x2
y2
z2
52
fEy
Uy



1
y40
px

3pxy
x2y2z2
32

40
x2y2z2
52
Ez
Uz



1
z40
px

3pxz
x2y2z2
32

40
x2
y2
z2
52
于是Pr