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以B为中心,l为半径的半圆。A点有正电荷q,B点有负电荷q。
⑴把单位正电荷从O点沿OCD移到D点,电场力对它作了多少功?
⑵把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处,电场力对它作了多少功?解:⑴选无穷远为零电位点,则O点的电位为
UO0
D点的电位
UD


q40l

q40
3l


q60l
O、D两点的电位差为
UOD

q60l
f故把单位正电荷从O点沿OCD移到D点,电场力所作的功为
AOD

q0UOD

q60l
(q0为单位正电荷)

UD
q60l
故把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处,电场力所的功为
AD

q0UD

q60l
(q0为单位负电荷)
9两个点电荷的电量都是q,相距为l。求中垂面上到两者联线中点为x处的电位。
解:如图,两点电荷在P点产生的电位分别为
q
q
U1U240r40x2l24
由电位叠加原理,P点的电位为
q
UU1U220
x2l24
10有两个异号点电荷
e和e(
1),相距为a。
⑴证明电位为零的等位面是一个球面;
⑵证明球心在这两个点电荷的延长线上,且在e点电荷的外边;
⑶这球的半径为多少?
证明:⑴建立如图所示的坐标系,点电荷
e、e在P点产生的电位为
U

e

e
40x2y2z240x2ya2z2
对于电位为零的等位面有

e
e

40x2y2z240x2ya2z2

x2


y


2a
2

2
1


z2



a2
21
f所以电位为零的等位面是一个球面。

球心的坐标为:(0,

2
2a1
,0)

1,
aa
1

1
2
球心在点电荷
e、e连线的延长线上,且在e是外边。
⑶球的半径为

aR
21
11
求电偶极子
p

ql电位的直角坐标表达式,并用梯度求出场强的直角分量表达式。
解:建立如图所示的坐标系。在电偶极子电场中任取一点P,P点到电
偶极子轴线中点O的距离为r,q和q到P点的距离分别为r1和
r2。由点电荷电势公式和电势叠加原理可得P点的电势为
U
U1
U2

140
qr1

140
qr2

q40
r2r1r1r2
因为r
l
,所以r1

r

lcos2
,r2

r

l2
cos
,代入上式可
得P点的电势为
U1qlcos1pcos
40r2
40r2
式中rx2y2z2,为电偶极子中心O与场点P的连线和电偶极子轴的夹角,如图所示,且
cos
x
,则P点的电势可表示为
x2y2z2
U140
px
x2y2z2
32

可见电势U是P点坐标xyz的函数。P点场强E在x,y、z方向的分量分别为
Ex
Ux



1
x40
px

p2x2y2z2
x2y2z2
32

40
x2
y2
z2
52
fEy
Uy



1
y40
px

3pxy
x2y2z2
32

40
x2y2z2
52
Ez
Uz



1
z40
px

3pxz
x2y2z2
32

40
x2
y2
z2
52
于是Pr
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