第一章静电场
§4电位及其梯度（P95）
1在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电位差约为一百兆伏，通过的电量约为30库仑。问一次闪
电消耗的能量是多少？如果用这些能量来烧水，能把多少水从0C加热到100C？
解：一次闪电消耗的能量等于30库仑的电荷电能的减少量，即
WqU3010830109J
设能将m质量的水从0C加热到100C，则有
Wmct
m

Wct

301090241103100

72103kg
2已知空气的击穿场强为2106伏米，测得某次闪电的火花长100米，求发生这次闪电时两端的电
位差。
解：由电位差的定义可得
U
B
Edl
El
2108V
A
3证明：在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等；或者换句话说，凡是电场强度的方向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。提示：利用高斯定理和作功与路径无关的性质，分别证明沿同一电力线和沿同一等位面上两点的场强相等。
证明：沿某一条电力线作如图所示的横截面积为S、长为l的圆柱形高斯面。由于a、b两点位于同一直线上，因而Ea、Eb的方向相同。该高斯面内无电荷。由高斯定理可得
SEdSEaSEbS0
EaEb
即沿同一电力线上的任意两点的场强相等。
f对于某一等位面作如图所示的横截面积为S、长为l的圆柱形高斯面，其中AC为等位面，BD为等位面，A点和B点在同一电力线上，C点和D点也在同一电力线上，由上面讨论可知
EAEB，ECED
由静电场环路定理可得
EdlABCDA
EAABECCD0
ABCD
EAEC
即同一等位面上的任意两点的场强相等。
4求与点电荷q10106库仑分别相距为a10米和b20米的两点间的电位差。
解：点电荷q的电场分布为
E

q40r2
r
由电位差的定义可得a、b两点的电位差为
Uab
b
Edl
a

q40

1ra

1rb


45103V

5一点电荷q在离它10厘米处产生的电位为100伏，求q。解：取无限远位零电位点，点电荷q的电位分布为
Uq40r
q40rU111109C
6求一对等量同号点电荷联线中点的场强和电位，设电荷都是q，两者之间距离为2l。
解：建立如图所示的坐标系，则在两电荷联线的中点，两点电荷产生的场强和电位分别为
E1

q40l2
，U1

q40l
fE2


q40l2
，U2

q40l
EE1E20
U
U1
U2

q20l
7求一对等量异号点电荷联线中点的场强和电位，设电荷都是q，两者之间距离为2l。
解：建立如图所示的坐标系，则在两电荷联线的中点，两点电荷产生的场强和电位分别为
E1

q40l2
，U1

q40l
E2

q40l2
，U2


q40l

E

E1

E2

q20l2
UU1U20
8如图所示，AB2l，OCD是r