例5
若
a
是各项均不为
0
的等差数列，求证：1a1a2
1a2a3
1a
a
1
a1a
1
证明设等差数列a
的公差为d：若d0，要证结论显然成立；若d0，得
1111a
a
1da
a
1
111
a1a2a2a3
a
a
1
1d
1a1
11
a2
a2
11
a3
a
1a
1
1d
1
a1
1
a
1
1d
da1a
1
a1a
1
例8证明11112
N且
2
122232
2
证明
1111
122232
2
1111
1223
1
1
11
12
12
13
1
1
1
1
11
1
2
高考题52014年高考全国大纲卷理科第18题等差数列a
的前
项和为S
，已知
a110，a2为整数，且S
S4
1求a
的通项公式；
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2设b
1a
a
1
，求数列b
的前
项和T
答案：1a
13
3
；2
S
10103
高考题62014年高考广东卷文科第19题设各项均为正数的数列a
的前
项和为
S
，且
S
满足
S
2
2
3S
3
2
0
N
1求a1的值；
2求数列a
的通项公式；
3证明：对一切正整数
，有1111
a1a11a2a21
a
a
13
答案：1a12；2a
2
；3当
1时，可得欲证成立当
2时，
1a
a
1
12
2
1
2
112
1
12
12
1
12
1
，再用裂项相消法可得欲
证
高考题72014年高考山东卷理科第19题已知等差数列a
的公差为2，前
项和
为S
，且S1，S2，S4成等比数列
1求数列a
的通项公式；
2令
b
1
1
4
a
a
1
求数列b
的前
项和T
2
2
答案：1a
2
1，T
2
12
2
1
4分组求和法
为奇数
为偶数
例9
求S
11
12
1
12
14
1
12
14
1
1
2
解
设a
1
12
14
1
1
2
，得a
2
1
1
2
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所以本题即求数列2
1
1
的前
项和：
2
S
2
1
12
14
1
1
2
2
a
2
2
12
1
例10
设数列a
的前
项和S
满足S
a
2
1
2
，又
b
1
S
，求数列b
的前
项和T
解
在S
a
12
中，令
2
1可求得a1
1
还可得
相减，得
4S
a
124S
1a
112
4a
1a
12a
22a
12a
a
1a
a
1a
20a
1a
2
所以a
是首项为1公差为2的等差数列，得
a
2
1
所以
S
a
12
2
2b
1
2
当
为偶数时，
T
12
22
32
42
12
2
3
7
11
2
1
12
当
为奇数时，
T
T
1
b
12
2用以上结论
12
总之，T
1
12
高考题82014年高考北京卷文科第15题已知a
是等差数列，满足a13，
a41r
