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数列求和的七种基本方法
甘志国部分内容已发表于数理天地高中，201411：1415
数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题简单介绍数列求和的七种基本方法1运用公式法
很多数列的前
项和S
的求法，就是套等差、等比数列S
的公式，因此以下常用公式
应当熟记：
123135

1
12
2
1
2
12222
12
1
12

122

123

还要记住一些正整数的幂和公式：

12


1

12

122232
21
12
16
132333
31
2
124
例1已知数列a
的前
项和S
32
2，求数列a
的前
项和T

解由S
32
2可得a
332
a
0
16，所以：
1当
16时T
S
32
2
2当
17时，T
a1a2a
a1a2a16a17a18a
S16S
S162S16S
232
512
所以
T


32
2


2

32


512

1216
17且
N
例2求S
1
2
13
2
1
解设akk
1kk
1k2，本题即求数列ak的前
项和
学习好帮手
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S
123
1122232
2
1
1
11
12
1
2
6
1
1
26
高考题12014年高考浙江卷文科第19题部分求数列2
1的前
项和S

答案：S
2
高考题22014年高考四川卷理科第19题部分求数列2
4的前
项和S

答案：S
23

高考题32014年高考福建卷文科第17题在等比数列a
中，a23a581
1求a
；
2设b
log3a
，求数列b
的前
项和S

答案：1a


3
1；2S


22



高考题42014年高考重庆卷文科第16题已知a
是首项为1，公差为2的等差数列，S
表示a
的前
项和
1求a
及S
；
2设b
是首项为2的等比数列，公比q满足q2a41qS40，求b
的通
项公式及其前
项和T

答案：1a


2
1S


2；2b


22
1T


23
4

1
2倒序相加法
事实上，等差数列的前
项和S
的公式推导方法就是倒序相加法
例3求正整数m与
m
之间的分母为3的所有既约分数的和S
解显然，这些既约分数为：
m1m2m4
4
2
1
333
333
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有
Sm1m2m4
4
2
1
3
3
3
3
3
3
也有
S
1
2
4m4m2m1
3
3
3
3
3
3
所以
2Sm
2
m2
2m2S
2m2
例4
设
f
x

4x4x2
，求和
f

12002


f

22002


f

32002



f

20012002


解可先证得fxf1x1，由此结论用倒序相加法可求得答案为20012
3裂项相消法
r