24二次函数的应用第1课时图形面积的最大值
1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；重点
2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．难点
方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配
方法，第三种是公式法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值
【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值
一、情境导入
如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一
个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成
的花圃的面积最大？
如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的
面积为ym2，那么y＝x20－2x．试问：x为何
值时，才能使y的值最大？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值
已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的
最小值为2，则a的值为
A．3
B．－1
C．4
D．4或－1
解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最
4ac－b2小值2，∴a＞0，y最小值＝4a＝
4a（a－1）－42
4a
＝2，整理，得a2－3a－4＝0，
解得a＝－1或4∵a＞0，∴a＝4故选C
方法总结：求二次函数的最大小值有三种
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
1求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
2当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
3若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．
解析：1根据AB为xm，则BC为24－
4xm，利用长方形的面积公式，可求出关系式；
2由1可知y和x为二次函数关系，根据二次
函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面
积及对应的AB的长；3根据BC的长度大于0
且小于等于8列出不等式组求解即可．解：1∵AB＝x，∴BC＝24－4x，∴S＝
ABBC＝x24－4x＝－4x2＋24x0＜x＜6；2S＝－4x2＋24x＝－4x－32＋36，∵0＜
x＜6，∴当x＝3时，S有最大值为36；3∵2244－－44xx≤＞80，，∴4≤x＜6
f所以，当x＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．
方法总结：根据已知条件列出二次函数式
是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量
的取值范围．变式训练：见《学练优》本课时练习“课
堂达标训练”第8题【类型二】利用割补法求图形的最大面积
如图，在矩形ABCD中，AB＝mm是大于0的常数，BC＝8，E为线段BC上的动点不与B、r