求证：a23b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）0，可得cx34x24x，由g（x）x34x24x，求得导数，单调区间和极值，由c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a23b＞0；再由ab4，c0，可得若a23b＞0，不能推出f（x）有3个零点．
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f【解答】解：（1）函数f（x）x3ax2bxc的导数为f′（x）3x22axb，可得yf（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为kf′（0）b，切点为（0，c），可得切线的方程为ybxc；（2）设ab4，即有f（x）x34x24xc，由f（x）0，可得cx34x24x，由g（x）x34x24x的导数g′（x）3x28x4（x2）（3x2），当x＞或x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当2＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x2处取得极大值，且为0；g（x）在x处取得极小值，且为．由函数f（x）有三个不同零点，可得＜c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，
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f即为导数f′（x）3x22axb的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a212b＞0，即为a23b＞0；若a23b＞0，即有导数f′（x）3x22axb的图象与x轴有两个交点，当c0，ab4时，满足a23b＞0，即有f（x）x（x2）2，图象与x轴交于（0，0），（2，0），则f（x）的零点为2个．故a23b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【点评】不同考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题．
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