程①的左边xb2一定大2a
于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表
示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝b
b24ac；2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－
b2a
；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
x1b
b22a

4ac
，
x2

b

b24ac，2a
则有
x1x2b
b24acb2a
b24ac2bb；
2a
2aa
x1x2b
b24acb2a
b24ac2a
b
2b24ac4a2

4ac4a2

c．a
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是
x1，x2，那么
x1＋x2＝
ba
，x1x2＝
ca
．这一
关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1x2＝q，
即
p＝－x1＋x2，q＝x1x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－x1＋x2x＋x1x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程
x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－x1＋x2x＋x1x2＝0．因此有
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2－x1＋x2x＋x1x2＝0．
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f课时一、解一元二次方程
一、判别式例1、判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。
（1）x23x40（2）x2mx10（3）x22xa0
（（1）无实数根。（2）有两个不等实根，为xmm24。（3）当a1时方程有两个2
不等实根x11a，当a1时方程有两个相等实根x1，当a1时，方程没实根。）
例2、k取何值时，方程x2k1xk20有两个相等的实数根，并求出方程的这两
个根。（k7或1时方程有两个相等的实数根，k7时方程有两个相等实根3，k1时方程有两相等实根1。）二、转化为一元二次方程
例3、求方程2x1的解。xx3
（x6）
例4、方程x24xk0和方程2x23xk0有一个根相同，求此根及k的值。
（原方程的一个相同根为0或1，相应的k为0或5）例5、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500kg，经市场调查发现r