且S△PACS△PBD2211ACPMBDPN∴22
又∵AC＝BD
∴PM＝PN∴OP平分∠AOB
又∵PM⊥OA，PN⊥OB
f点评）观察已知条件中提到的三角形△PAC与△PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果3、如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点求证：AD＝AB＋DC答案）证明：在线段AD上取AF＝AB，连接EF，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠1＝∠2，∵AF＝ABAE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE
由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，∴∠AFE＋∠C＝180°，又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠DFE，∵DE是∠ADC的平分线，∴∠3＝∠4，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE，∴DF＝DC，∵AD＝DF＋AF，∴AD＝AB＋DC．类型一、全等三角形的性质和判定如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE
答案证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC
DABEAC在△DAB与△EAC中，ABAC∴△DAB≌△EAC（SAS）∴BD＝CEBC
类型二、巧引辅助线构造全等三角形1．作公共边可构造全等三角形：
f1、在ΔABC中，AB＝AC求证：∠B＝∠C
ABAC答案证明：过点A作AD⊥BC在Rt△ABD与Rt△ACD中ADAD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C
2．倍长中线法：1、已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．答案）证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵EC为中线，∴AE＝BE．△AEC≌△BEF（SAS）．
AEBE在△AEC与△BEF中，AECBEF∴CEEF
∴又∵∴又∵
AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．BC为△ADC的中线，∴AB＝BD．即BF＝BD．△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．
BFBD在△FCB与△DCB中，FBCDBC∴BCBC
2、若三角形的两边长分别为5和7A1＜x＜6
则第三边的中线长x的取值范围是C2＜x＜12D无法确定

B5＜x＜7
答案A；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x＜7＋5，所以选A选项3作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：如图，AD是ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD
f1求证：∠B与∠AHD互补；2若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HDr