QCI1CI1N
NI1,同理MCMI2
.由MPMT,故
NTNI1
NPNT
得
.
由⑴所证MP
NC
,NP
MC
MTMI2
.
f又因I1NT故NTI1
QNTQMTI2MT
,有I1NT
∽I2MT
.
MTI2
,从而I1QI2
NQMNTMI1TI2
.
因此Q,I1,I2,T四点共圆.学科网
5、(2010二试1)如图,锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A,B,D,C四点共圆.
A
O
B
EKD
C
P
Q
NM
同理QK
2
QO
2
2
r
2
KO
2
2
r
2
,
所以POPK
2
QO
QK
2
,
故OK⊥PQ.由题设,OK⊥MN,所以PQ∥MN,于是
AQQNAPPM
.①
由梅内劳斯(Me
elaus)定理,得
NBBD
MCCD
DEEA
DEEA
AQQN
APPM
1,②
1.③NBBDMCCD
由①,②,③可得
,所以
NDBD
MDDC
,故△DMN∽△DCB,于是DMNDCB,所以BC∥MN,
f故OK⊥BC,即K为BC的中点,矛盾!从而ABDC四点共圆注1:“PK
2
P的幂(关于⊙O)K的幂(关于⊙O)”的证明:延长PK至点F,使得
PKKFAKKE,④
则P,E,F,A四点共圆,故
PFEPAEBCE,
从而E,C,F,K四点共圆,于是
PKPFPEPC,⑤
⑤④,得
PK
2
.PEPCAKKEP的幂(关于⊙O)K的幂(关于⊙O)
注2:若点E在线段AD的延长线上,完全类似.
A
OFBEKDPC
Q
NM
6、(2011二试1)如图,P明:AQB
CQB
Q
分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC
BD
的中点.若BPA
DPA
,证
.
f从而有AB即
ABAC
CD
12
ACBDAC
12
BDACBQ
,
BQCD
.,所以△ABQ∽△ACD,所以QAB
DAF
又ABQ
ACD
DAC
.
延长线段AQ与圆交于另一点F,则CAB又因为Q为BD的中点,所以CQB又AQB
DQF
,故BC
DF
.
DQF
.
,所以AQB
CQB
.
7、(2012二试1)如图,在锐角ABC中,ABACMN是BC边上不同的两点,使得BAMCAN设ABC和AMN的外心分别为O1O2,求证:O1O2A三点共线
A
B
MN
C
【解析】证明:如图连接AO1AO2过A点作AO1的垂线AP交BC的延长线于点P则AP
是
O1的切线因此BPAC因为BAMCAN
所以AMPBBAMPACCANPAN因r