QCI1CI1N
NI1，同理MCMI2
．由MPMT，故
NTNI1
NPNT
得
．
由⑴所证MP
NC
，NP
MC
MTMI2
．
f又因I1NT故NTI1
QNTQMTI2MT
，有I1NT
∽I2MT
．
MTI2
，从而I1QI2
NQMNTMI1TI2
．
因此Q，I1，I2，T四点共圆．学科网
5、（2010二试1）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．
A
O
B
EKD
C
P
Q
NM
同理QK
2
QO
2
2
r
2
KO
2
2
r
2
，
所以POPK
2
QO
QK
2
，
故OK⊥PQ．由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是
AQQNAPPM

．①
由梅内劳斯（Me
elaus）定理，得
NBBD
MCCD

DEEA
DEEA

AQQN
APPM
1，②
1．③NBBDMCCD
由①，②，③可得
，所以
NDBD

MDDC
，故△DMN∽△DCB，于是DMNDCB，所以BC∥MN，
f故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而ABDC四点共圆注1：“PK
2
P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得
PKKFAKKE，④
则P，E，F，A四点共圆，故
PFEPAEBCE，
从而E，C，F，K四点共圆，于是
PKPFPEPC，⑤
⑤④，得
PK
2
．PEPCAKKEP的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）
注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．
A
OFBEKDPC
Q
NM
6、（2011二试1）如图，P明：AQB
CQB
Q
分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC
BD
的中点．若BPA
DPA
，证
．
f从而有AB即
ABAC
CD
12
ACBDAC
12
BDACBQ
，
BQCD
．，所以△ABQ∽△ACD，所以QAB
DAF
又ABQ
ACD
DAC

．

延长线段AQ与圆交于另一点F，则CAB又因为Q为BD的中点，所以CQB又AQB
DQF
，故BC
DF
．
DQF
．
，所以AQB
CQB
．
7、（2012二试1）如图，在锐角ABC中，ABACMN是BC边上不同的两点，使得BAMCAN设ABC和AMN的外心分别为O1O2，求证：O1O2A三点共线
A
B
MN
C
【解析】证明：如图连接AO1AO2过A点作AO1的垂线AP交BC的延长线于点P则AP
是
O1的切线因此BPAC因为BAMCAN
所以AMPBBAMPACCANPAN因r