20092017全国高中数学联赛分类汇编第07讲：解三角形
1、（2012一试2）设ABC的内角ABC的对边分别为abc，且满足acosBbcosA值是【答案】4
35
则c，
ta

A
的
ta
B
2、（2013一试3）在ABC中，已知si
【答案】11【解析】由于si
ta
A11
A10si
Bsi
C
，cosA
10cosBcosC
则ta

A
的值为
AcosA10si
Bsi
CcosBcosC

10cosBC

10cosA
，所以si

A11cosA
，故
3、（2014一试7）设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I若点P满足PI1，则ABC与APC的面积之比的最大值为__________【答案】
325
【解析】由PI1知点P在以I为圆心的单位圆k上
设BAP在圆K上取一点P0，使得取到最大值0，此时P0应落在
IAC内，且是AP0与圆K的切点，由于00

3
故
1SAPBSAPC212
APABsi

APACsi

3

si
si

3

si
0si

si
si

6
1


3
0

6
其中，0由AP0I

6
IAP0IP0AI12r14于是cot15所以

2
知，si

fsi
si

6

1212
coscos
3232
si
si

cotcot
33

6

1515
33

32
5

S35根据（1）、（2）可知，当PP0时，APB的最大值为SAPC2
4、（2009二试1）如图，M，N分别为锐角三角形ABC（A
B
⌒、AC⌒的中点．过）的外接圆上弧BC
点C作PC∥MN交圆于P点，I为ABC的内心，连接PI并延长交圆于T．⑴求证：MPMT
NPNT
；
≠A
⌒（不含点）上任取一点Q（Q⑵在弧ABC求证：Q，I1，I2，T四点共圆．
PNITAQ
A
，T，B），记AQC，△QCB的内心分别为I1，I2，
CM
N
P
CMIT
PN
CMII2
B
B
I1A
BT
Q
【解析】⑴连NI，MI．由于PC∥MN，P，C，M，N共圆，
于是NP
MI
，PM
NI
．
S△PNT
故四边形MPNI为平行四边形．因此S△PMT又P，N，T，M四点共圆，故TNP
S△PMT12PMMTsi
PMTS△PNT12
（同底，等高）．，由三角形面积公式
12PNNTsi
PMT
PMT180
PNNTsi
PNT
于是PM
MTPNNT
．，
NTMPMTNP
⑵因为NCI1所以NC
NCAACI1NQCr