－1＋…＋x
－1x＋x
1所以x＋x3＋…＋x2
－1≥
x
②①＋②，得1＋x＋x2＋…＋x2
≥2
＋1x
2当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞x
，同理可得结论．综合1与2，所以当x＞0时，1＋x＋x2＋…＋x2
≥2
＋1x
4．设0＜a≤b≤c且abc＝1
f1
1
1
试求a3（b＋c）＋b3（a＋c）＋c3（a＋b）的最小值．
解：令S＝a3（b1＋c）＋b3（a1＋c）＋c3（a1＋b），
则S＝a（3（abb＋c）c）2＋b（3（aab＋c）c）2＋c（3（aab＋c）b）2
＝a（bb＋cc）bc＋b（aa＋cc）ac＋c（aa＋bb）ab
由已知可得：a（b1＋c）≥b（a1＋c）≥c（a1＋b），ab≤ac≤bc
所以S≥a（bb＋cc）ac＋b（aa＋cc）ab＋c（aa＋bb）bc
c
a
b
＝a（b＋c）＋b（a＋c）＋c（a＋b）①
又S≥a（bb＋cc）ab＋b（aa＋cc）bc＋c（aa＋bb）ac
b
c
a
＝a（b＋c）＋b（a＋c）＋c（a＋b），②
①、②两式相加得：2S≥1a＋1b＋1c≥33a1bc＝3所以S≥32，即a3（b1＋c）＋b3（a1＋c）＋c3（a1＋b）的最小值为32
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