1已知：AB4，AC2，D是BC中点，AD是整数，求AD的长A
B
C
D
解：延长AD到E使ADDE∵D是BC中点∴BDDC在△ACD和△BDE中
ADDE∠BDE∠ADC
BDDC∴△ACD≌△BDE∴ACBE2∵在△ABE中ABBE＜AE＜ABBE∵AB4即42＜2AD＜421＜AD＜3∴AD2
2已知：BCED，∠B∠E，∠C∠D，F是CD中点，求证：∠1∠2
证明：连接BF和EF∵BCEDCFDF∠BCF∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF边角边∴BFEF∠CBF∠DEF连接BE在三角形BEF中BFEF∴∠EBF∠BEF。∵∠ABC∠AED。∴∠ABE∠AEB。∴ABAE。在三角形ABF和三角形AEF中
ABAEBFEF∠ABF∠ABE∠EBF∠AEB∠BEF∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。∴∠BAF∠EAF∠1∠2。
f3已知：∠1∠2，CDDE，EFAB，求证：EFAC
A12
F
CDEB
过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGDDE＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC
4已知：AD平分∠BAC，ACABBD，求证：∠B2∠CA
证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD（SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝ABBD∴AE＝ABBD∵AE＝ABBE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E
f∵∠ABC＝∠E∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C5已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B∠D180°，求证：AEADBE
证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEFSAS∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE6如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BCABDC。
在BC上截取BFAB，连接EF∵BE平分∠ABC∴∠ABE∠FBE又∵BEBE∴ABE≌FBE（SAS）∴∠A∠BFE∵ABCD∴∠A∠D180∵∠BFE∠CFE180∴∠D∠CFE又∵∠DCE∠FCECE平分∠BCDCECE∴DCE≌FCE（AAS）∴CDCF∴BCBFCFABCD
f7已知：ABCD，∠A∠D，求证：∠B∠C
证明：设线段ABCD所在的直线交于E，则：△AED是等腰三角形。∴AEDE而ABCD∴BECE∴△BEC是等腰三角形∴∠B∠C
8P是∠BAC平分线AD上一点，ACAB，求证：PCPBACAB
在AC上取点E，使AE＝AB。∵AE＝AB
AP＝AP∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP∴PE＝PB。PC＜EC＋PE∴PC＜（AC－AE）＋PB∴PC－PB＜AC－AB。
9已知∠ABC3∠C，∠1∠2，BE⊥AE，求证：ACAB2BE
证明：延长BE交AC于点F可证△ABE≌△AFE∴∠ABE∠AFEABAFBEFE∴ACABFCFB2BE∵∠ABC3∠C∴∠ABE∠r