3若ba，则或者a0，或者ab，因此若ba且ab，则ab；
4ab互质，若acbc，则abc；
5p是质数，若pa1a2a
，则p能整除a1a2a
中的某一个；特别地，若p是质数，若pa
，则pa；
6带余除法设ab为整数，b0，则存在整数q和r，使得abqr，其中
0rb，并且q和r由上述条件唯一确定；整数q被称为a被b除得的不完全商，数r称
为a被b除得的余数。注意：r共有b种可能的取值：01，……，b1。若r0，即为a被b整除的情形；
易知，带余除法中的商实际上为

ab

（不超过
ab
的最大整数），而带余除法的核心是关
于余数r的不等式：0rb。证明ba的基本手法是将a分解为b与一个整数之积，在
较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若
是正整数，则x
y
xyx
1x
2yxy
2y
1；
若
是正奇数，则x
y
xyx
1x
2yxy
2y
1；（在上式中用y
代y）


m
7如果在等式aibk中取去某一项外，其余各项均为c的倍数，则这一项也是c的
i1
k1
倍数；8
个连续整数中，有且只有一个是
的倍数；9任何
个连续的整数之积一定是
的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6
整除；2．奇数、偶数有如下性质：
1奇数奇数偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝奇数，偶数偶数＝偶数，奇数
f偶数＝偶数，奇数奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；
（2）奇数的平方都可以表示成8m1的形式，偶数的平方可以表示为8m或8m4的形式；
（3）任何一个正整数
，都可以写成
2ml的形式，其中m为负整数，l为奇数。
（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
3．完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：
（1）平方数的个位数字只可能是01，45，69；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；（3）奇数平方的十位数字是偶数；（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的r