第一节整数的p进位制及其应用
正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识
给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为am1am2a0，则此数可以简
记为：Aam1am2a0（其中am10）。由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的m1次多项式，即
Aam110m1am210m2a110a0，其中ai0129i12m1且
am10，像这种10的多项式表示的数常常简记为Aaam1m2a010。在我们的日常
生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作Aaam1m2a0，以后我们
所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：
Aam1pm1am2pm2a1pa0，其中ai012p1i12m1且
am10。而m仍然为十进制数字，简记为Aam1am2a0p。
第二节整数的性质及其应用（1）
基础知识
整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设ab是给定的数，b0，若存在整数c，使得abc则称b整除a，记作ba，
并称b是a的一个约数因子，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a记作ba。
由整除的定义，容易推出以下性质：
1若bc且ca，则ba传递性质；
f2若ba且bc，则bac即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若
反复运用这一性质，易知ba及bc，则对于任意的整数uv有baucv。更一般，若

a1a2a
都是b的倍数，则ba1a2a
。或着abi，则acibi其中i1
ciZi12
；r