结规律和技巧，掌握格林公式的应用，同时巩固格林公式的理论和方法。四、教学过程1问题导入轮滑做功问题。例1假设在轮滑过程中前方所施拉力为（e，xe），滑行路线为L：（x1）y1，求逆时针滑行一周前方对后方所做的功分析：该问题是变力沿曲线作功问题由第二类曲线积分的计算方法，令x1cost，ysi
t，则有请同学们思考，如何计算该定积分？同学们讨论后发现，积分求解困难，统一变量法失效，发现化为定积分方法的局限性。求解这样一个闭曲线上的积分，需要寻求新的方法，这就是格林公式，从而引出本节教学内容。板书本节课的主要问题（后续教学紧紧围绕这三个问题展开）。第一，什么是单连通区域、复连通区域？如何确定边界曲线的正向？第二，格林公式的条件和结论，如何证明？第三，格林公式的具体应用。2单（复）连通区域。在讨论格林公式之前，先讨论关于区域的基本概念。通过平面封闭曲线围成平面区域这一事实，引入平面区域的分类和边界线的概念。请同学们汇报网上学习的情况。有同学主动要求汇报，学生在黑板上画图并通过图形叙述了单（复）连通区域的概念以及边界曲线正向的确定方法。教师对学生汇报情况加以肯定，强调复连通区域内外边界线方向的不同，并进一步拓展为内部有多个“洞”的情况。3格林公式。我们知道平面区域对应着二重积分，而其边界线对应着曲线积分，这两类积分之间有什么关系呢？
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请同学根据线上学习情况汇报。有同学带事先准备好的讲稿主动要求到讲台讲解。先板书定理内容，然后画图，结合图形分析证明思路。要求学生仅针对区域既是X型又是Y型的情况进行证明。利用积分区域的可加性，其他情况可以类似证明。教师提问：定理的条件为什么要求被积函数具有一阶连续偏导数呢？学生讨论后发现：定理证明过程中用到了偏导数的二重积分，因而要求连续。教师提问：格林公式对复连通区域成立吗？师生共同讨论：通过给一个具体区域形状，根据分割方法，将一般区域问题化为几个简单问题。利用对坐标的曲线积分的性质，可以证明，格林公式同样成立。为了便于记忆，我们把格林公式的条件归纳为：“封闭”、“正向”、“具有一阶连续偏导数”。4格林公式的具体应用典型例题分析。（1）直接用格林公式来计算。例1轮滑做功问题求解，让学生体会格林公式的作用，回应问题引入。（2）间接用格林公式来计算。例2计算对坐标的曲线积分（esi
ymy）dx（ecosym）dy，其中L是上半圆周（r