2013年河南大学硕士研究生入学考试高等代数
1记P【x】为数域P上所有多项式构成的集合，给定复数求证：P【x】中子集合MfxP【x】f0中存在唯一的首项系数为1的非零不可约多项式dx且dxfx当且仅当fxM。2设A，B为数域P上的
阶方阵，试证：2
阶方阵有行列式：detMdetABdetAB3给定数域P上的
r矩阵AB。设AB的列向量组分别为同一个齐次线性方程组的基础解系，试证：存在数域P上的r阶可逆方阵Q使得BAQ。4设Ａ，Ｂ为ｎ阶是对称方阵，且Ａ正定，试证：二次型
（x）xAx和xxBx可同时化为标准型。
AＢＡＢ
M
5设V0为ｎ维实线性空间Ｖ中的真子空间，ｆ为Ｖ上的对称双线性函数，记V0的正交补为V0＝｛V｝ｆ，0，试证：ｆ限制在V0上的非退化，当且仅当Ｖ＝V0V0

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