xiai12…
,证明:
x1aax2aaaa
aax3a
a
a
a
1
i1
xi
a
a
xi
i1
a
x
分析用第一行列乘以-1并加至其它各行列,即可化为爪形行列式
fx1
a
aa
证
D
rir1i23
ax1ax1
x2a
x3a
ax1
x
a
由于xia,将第i行i23…
乘-axi-a加到第一行上,得
x1
x1
a
i
2
xi
a
a
D
ax1
ax1
ax1
x2ax3a
x
a
x1
x1
a
i2
xi
a
a
x2
a
x3
a
x
a
x1x1
a
i2
xi
a
a
xi
i1
a
1
i1
xi
a
a
xi
i1
a
x1111
练习8计算4阶行列式1x11
1
11x11
1111x
提示利用各行元素之和相等的特点进行计算,或者化为爪型答案x4
例17计算
2阶行列式D
detaij其中aijijij12
。
分析此行列式的特点是:在主对角线上方或下方,相邻行列中的对应元素相差1
这种行列式可通过逐行相减的方式:从第一行列开始,前行列减后行列,或者,从最后行列开始,后行列减去前行列,将主对角线以上或以下的元素化为相同的数,然后再计算
解依题意,行列式为
01
10
21
D
2
3
1
2
210
4
3
2
1
3
2
4
3
0110
111
111
riri1
111
i12
1
111
1
2
3
1111111110
再将第一列加到后面各列注意,这样做是根据行列式的什么特点?
10
0
120
cic1122
i23
122
12
32
4
00000020
1
12
2
11
1
12
2
练习9计算
2阶行列式D
detaijaijmaxi
j1ij12
提示依题意,有
其中
D
1
1
1
1
321322333
1
1
1
在副对角线及其上方,各行的对应元素相同从第一行开始,前行减后行,即riri1i12…
1,可将副对角线以上元素全化为0,即得公式14的形式或者,也可利用副对角线下方相邻列元素相同的特点计算
1
2
答案12
⑷分块法
若行列式是公式15和16所示的分块三角形,或者容易变换成这种形式,则可用分块法计算注意公式中的A和B必须是“行数列数”的数表
234710034581204569123例18计算0001000002000003000004000000
分析该行列式可分块为A的形式,其中BO
1
1
A12,B
2
3
123
4
于是可利用公式16进行计算
1
1
解D13412
2
3
123
4
441
3121234144
f练习10用分块法计算“练习6”中的行列式
x10y10练习11用分块法计算行列式0x20y2
y30x300y40x4
提示对换第23行,再对换第23列,然后分块计算答案x1x3r