第一章行列式
要点和公式
1全排列及其逆序数、对换
排列的逆序数各元素的逆序数之和一个元素的逆序数是指排在其前面并且大于它的元素个数
个元素所有排列的种数P
，其中奇、偶排列各占一半。一次对换改变排列的奇偶性。
2行列式

阶行列式的定义：1ta1p1a2p2a
p

或
1tap11ap22ap

或
1t1t2ap1q1ap2q2ap
q

行列式的性质：
⑴DDT
rirjcicjD反号
⑵
ri

kci或
kDk行列式某行列的公因子可提到行列式
符号外面

rikrj
cikcj

D不变
⑶以下都是行列式等于零的充分条件：①两行列完全相同；②某一行列的元素全为零；③两列的元素对应成比例
⑷若行列式的某一行列元素都是两数之和，则行列式可分解为两个行列式之和
行列式按行列展开法则



aikAjkDij或
akiAkjDij
k1
k1
i12…

其中ij

10
ii
jj
，D
是原行列式的值
重要的特殊行列式
⑴对角行列式上三角行列式下三角行列式
12
12


11
a11a21a22
a1
a11a2
a12a22
a
a
1a
2
a11a22a
a

12
⑵
1
2

1
1212


13
a11a21
a
1
a1
1a2
1
a1

a
1
a2
1
a
1
a1

a2



1
12
a1
a2
1
a
1
14
a

⑶分块对角行列式分块上三角行列式分块下三角行列式
AOAAO


AB
15
OBOBB
⑷
O
A
AO
A1kmAB
BOBOB
16
以上两式中，A、B分别是k阶、m阶行列式
⑸范德蒙德行列式
111
x1x2x3x12x22x32x1
1x2
1x3
1
1
x


x
2
xixj

1ji

x
1
17
3克拉默法则和有关定理
克拉默法则对于
个变量
个方程的线性方程组
a11x1a12x2a1
x
b1

a21x1

a22x2


a2
x

b2


a
1x1a
2x2a
x
b


简记为aijxjbii12…
j1
若系数行列式D0，则方程组有唯一解：
xj

DjD
i12…

其中Dj是用方程组的常数项b1b2…b
替换系数行列式D的第j列得到的行列式。
定理：对于非．齐．次．线性方程组

aijxjbi
j1
i12…

⑴方程组有唯一解系数行列式D0；
⑵等价命题方程组无解或有多组解D0
定理：对于齐．次．线性方程组

aijxj0
j1
i12…

⑴方程组只有零解系数行列式D0；
⑵等价命题方程组除零解外有非零解D0
f典型题型
1全排列的逆序数、奇偶性
计算
元排列的逆序数的常用方法是：算出排列中每个元素前面比它大的元素的个数即每个元素的逆序数，这些元素的逆序数之和就是所求排列的逆序数
判断排列的奇偶性的常用方法有两种：方法一：算出排列的逆序数，若逆序数为奇数，则为r