0，即MPMF2
又FF1MMP221MP三点共线，由题意知M在线段F1P上，1MF1P，F又MPMF2F1MMF222，M的轨迹是以F1F2为焦点，长轴长为22的椭圆，所以M的轨迹C的方程为
2
2
x2y212
4分
（Ⅱ）设Mxy，MF1又因为
x12y2，
222x22y21，MF1x121xx4x4x2x222222
2x2
MF2
2
2x22，2
（Ⅲ）（1）当直线l斜率不存在时，AF2BF2

1122，8分AF2BF2
（1）当直线l斜率存在时，设直线lykx1，Ax1y1Bx2y2直线l与
x2y21联立得：12k2x24k2x2k220，2
0恒成立
4k22k22x1x2韦达定理得：x1x212k212k2
由（Ⅱ）问结论知AF2
2
22x1BF22x222
22
2x1x2111121AF2BF2222x12x22x1x2x1x2222
f24k2221k2212k2224k212k221k2212k2212k222
综上
1122AF2BF2
12分
（21）解：（Ⅰ）gx

4x2ax11且gx在区间2上不单调，x4
14x2ax10区间2上有两不等实根或有一根，………………3分4
即a4x
11区间2上有两不等实根或有一根x41111，x在区间上单调递减，在区间2上单调递增，x422
令x4x
171711524，a的取值范围是4…………………6分2224
（Ⅱ）fxe
1x
1xfx在01上单调递增，在1e上单调递减，
2e
且f03f14fee
2
33fx的值域为34，
记hxgx2xaxl
xmfx，原问题等价于：m34，存在唯一的x0e4e，使得hx0m成立．


hxa
①当a
1ax1xe4exx


hxmi

1时，hx0恒成立，hx单调递减，由hxmaxhe4ae444，e1heae13，解得：0a…………………8分e
4
②当ae时，hx0恒成立，hx单调递增，hxmi
he4ae444，不合题


意，r