，求点P的轨迹方程
2020年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案
二、（本题满分50分）
设正数a、b、c、x、y、z满足cybzaazcxbbxayc
求函数fxyzx2y2z2的最小值1x1y1z
三、（本题满分50分）
0当
为平方数
对每个正整数

，定义函数
f




1当
不为平方数

240
（其中x表示不超过x的最大整数，xxx试求：fk的值k1
2020年全国高中数学联赛解答一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
f本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x的不等式x36xk有解的实数k的最大值是（）
A．63
B．3
C．63
D．6
2．空间四点A、B、C、D满足AB3BC7CD11DA9则ACBD的取值
（
）
A．只有一个
B．有二个
C．有四个
D．有无穷多个
【答案】A
【解析】注意到32
112
1130
72
92由于ABBCCDDA0则DA2

2
DA
ABBCCD2AB2BC2CD22ABBCBCCDCDABAB2
BC2

CD2

2
2BC

AB
BC

BCCD

CD

AB

AB2

BC2

CD2

2AB
BCBCCD即2ACBDAD2BC2AB2CD20ACBD只有一个值得0，故选A。
3．ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1。则
A
B
C
AA1cos2BB1cos2CC1cos2的值为（
）
si
Asi
Bsi
C
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】A
【解析】如图，连
BA1
，则
AA1

2si
B

A2

2si

A

B2

C

B2

C2

2cosBC22
f
AA1
cos
A2

2cosB2

C2
cos
A2

cos
A
B2
C

cos
A
C2

B

cos2
C

cos2

B

si
C
si

B同理BB1cos
B2

si

Asi
CCC1
cos
C2

si

Asi

BAA1cos
A2

BB1
cos
B2
CC1cos
C2

2si

Asi

Bsi
C原式

2si
Asi
Bsi
Csi
Asi
Bsi
C

2选A
5方程
x2

y2
1表示的曲线是（
）
si
2si
3cos2cos3
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
【答案】C
【解析】23023cos
2
22
2
2cos3即2
si
2si
3
又023cos20cos30cos2cos30方程表示的曲线是椭22
圆。
fsi
2si
3cos2cos322si
23si
23
2
2
4
230si
230233323
2
2
2
2
2
44
2
4
si
230式0
2
4
即si
2si
3cos2cos3曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选C。
二、填空题（本题满分54分，每小题9r