2点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．→→→解：1证明：以AB，AD，AP为正交基底建立空间直角坐标系A－xyz，
则B100，C110，D020，P002．→∵AD⊥平面PAB，∴AD是平面PAB的一个法向量，→
AD＝020．
→→∵PC＝11，－2，PD＝02，－2．设平面PCD的法向量为m＝x，y，z，→mPC＝0，则m→PD＝0，
x＋y－2z＝0即2y－2z＝0
，令y＝1，解得z＝1，x＝1，
∴m＝111是平面PCD的一个法向量．
3
f→ADm3→计算得cos〈AD，m〉＝＝，→3ADm∴二面角A－PE－D的余弦值为33
→→→2∵BP＝－102，设BQ＝λBP＝－λ，02λ0≤λ≤1，→→→→→又CB＝0，－10，则CQ＝CB＋BQ＝－λ，－12λ，又DP＝0，－22，→→CQDP1＋2λ→→∴cos〈CQ，DP〉＝＝设1＋2λ＝t，t∈13，2→→10λ＋2CQDP5t2→→2则cos〈CQ，DP〉＝2＝5t－10t＋9152209－＋t992t9∴2≤，5t－10t＋91092310→→π当且仅当t＝，即λ＝时，cos〈CQ，DP〉的最大值为因为y＝cosx在0，25510上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值，22522又∵BP＝1＋2＝5，∴BQ＝BP＝554．导学号145777342018鹰潭市一模在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，
22
CD1的中点，AA1＝AD＝1，AB＝2
1求证：EF∥平面BCC1B1；2求证：平面CD1E⊥平面D1DE；3在线段CD1上是否存在一点Q，使得二面角Q－DE－D1为45°，若存在，求值，不存在，说明理由．解：1证明：过F作FM∥C1D1交CC1于M，连结BM
D1Q的D1C
4
f1∵F是CD1的中点，∴FM∥C1D1，FM＝C1D121又∵E是AB中点，∴BE∥C1D1，BE＝C1D1，2∴BE∥FM，BE＝FM，EBMF是平行四边形，∴EF∥BM又BM在平面BCC1B1内，∴EF∥平面BCC1B12证明：∵D1D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD内，∴D1D⊥CE在矩形ABCD中，DE＝CE＝2，∴DE＋CE＝4＝CD，∴△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，∴CE⊥平面D1DE∵CE在平面CD1E内，∴平面CD1E⊥平面D1DE3以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，→则C020，E110，D1001，平面D1DE的法向量为EC＝－110，→→设D1Q＝λD1C＝02λ，－λ，0＜λ＜1，则Q02λ，1－λ．
22222
设平面DEQ的法向量为m＝x，y，z，则→mDE＝x＋y＝0→mDQ＝2λy＋－λ2λ，令y＝1，则m＝－11，．1－λ22＋2，2
z＝0
→mEC∵二面角Q－DE－D1为45°，∴cos45°＝＝→mEC2
r