核心素养提升系列四理
1．导学号145777312018合肥市二模如图1，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E为AD中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，如图2所示，点P在面BCDE的射影O落在BE上．
1求证：BP⊥CE；2求二面角B－PC－D的余弦值．解：1证明：由条件，点P在平面BCDE的射影O落在BE上，∴平面PBE⊥平面BCDE，易知BE⊥CE，∴CE⊥平面PBE，而BP平面PBE，∴PB⊥CE2以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示直角坐标系．
111113则B，，0，C，，0，D－，，0，222322
P0，0，

22
设平面PCD的法向量为η＝x1，y1，z1，→η1CD＝0则→η1CP＝0
x1＝0，即3y1－2z1＝0
2，令z1＝2，可得η1＝0，，23
设平面PBC的法向量为η2＝x2，y2，z2，→η2PB＝0则→η2BC＝0，即
x2－y2－2z2＝0y2＝0
，令z2＝2，可得η2＝20，2，
η1η233∴cos〈η1，η2〉＝＝，η1η211考虑到二面角B－PC－D为钝二面角，则二面角B－PC－D的余弦值为－3311
1
f2．导学号145777322018南阳、信阳等六市一模如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°
1若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；2若CD＝2，AA1＝λAC，二面角A－C1D－C的余弦值为解：1证明：连接A1C交AC1于E，因为AA1＝AC，5，求三棱锥C1－A1CD的体积．5
又AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AC，所以A1ACC1为正方形，所以A1C⊥AC1在△ACD中，AD＝2CD，∠ADC＝60°，由余弦定理得AC＝AD＋CD－2ADDCcos60°，所以AC＝3CD，所以AD＝AC＋CD，所以CD⊥AC，又AA1⊥CD所以CD⊥平面A1ACC1，所以CD⊥AC1，A1C∩CD＝C，所以AC1⊥平面A1B1CD2如图建立直角坐标系，则D200，A023，0，C10023λ，A1023，23λ
222222
→→∴DC1＝－2023λ，DA1＝－223，23λ．→→对平面AC1D，因为AD＝2，－23，0，A1C＝0，－23，23λ，1所以法向量
1＝3，1，，λ
2
f平面C1CD的法向量为
2＝010．

1
21由cosθ＝＝
1
23＋1＋λ
－2
＝
5，得λ＝1，5
所以AA1＝AC，此时，CD＝2，AA1＝AC＝23，11所以VC1－A1CD＝VD－A1CC1＝××23×23×2＝4323．导学号145777332018汕头市一模如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2
1求二面角A－PE－D的余弦值；r