案】2l
212
【考点】多元复合函数的求导法【难易度】★★【详解】
解析:令uyvx,从而zuv,对方程两边取对数得l
zvl
u,对该方程两边对xxy
求导,所以
1z
zx
vx
l
u
vu
ux
1y
l
yx
1y
,
z
z1l
y1
y
xy
1
l
y
1
2l
21
x12
yxy
xyxy
2
12
12
(14)设3阶矩阵A的特征值是23若行列式2A48,则_______
【答案】1
【考点】矩阵的特征值的性质【难易度】★★【详解】
解析:2A23A48,所以A6
由矩阵特征值的乘积等于矩阵行列式的值,得236,故1
三、解答题:15-23小题,共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15(本题满分10分)
求极限
lim
x0
si
x
si
si
x4
x
si
x
【考点】等价无穷小,洛必达法则,佩亚诺余项泰勒公式展开【难易度】★★★【详解】解析:方法一:洛必达法则
lim
x0
si
x
si
si
x4
xsi
x
lim
x0
si
xsi
si
x3
x
lim
x0
cosxcossi
3x2
xcosx
方法二:泰勒公式
cosx1cossi
xsi
si
xcosx
limx0
3x2
lim
x0
6x
si
x1lim
x06x6
第6页共13页
flim
x0
si
x
si
si
x4
x
si
x
lim
x0
si
x
si
x3
si
x
lim
x0
16
si
x3
x3
o
x3
16
16(本题满分10分)
设函数
y
yx由参数方程
x
xt
t2
确定,其中xt是初值问题
y0l
1udu
dx2tex0dtxt00
的解.求
d2ydx2
【考点】变量可分离的微分方程,积分上限的函数及其导数,由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★【详解】
解析:由dx2tex0得dt
exdx2tdt,积分得ext2C.
由条件xt00,得C1,即ext21,
故xl
t21.
方程组
x
l
t2
t2
1
两端同时对t求导得
y0l
1udu
dx
dtdy
2t1t2
2tl
1
t2
.
dt
dy所以dydt1t2l
1t2,
dxdxdt
从而
d2ydx2
d
1t2l
1t2dx
d
1t2l
1t2
dtdx
dt
第7页共13页
f2tl
1t22t1t2l
1t21exx1.2t
1t2
17(本题满分10分)
计算1x2arcsi
xdx01x2
【考点】定积分的换元积分法,定积分的分部积分法【难易度】★★★【详解】
解析:令xsi
t,则
1x2arcsi
xdx
2
si
2
t
t
cos
tdt
01x2
0cost
1
2
tdt
1
2
t
cos2tdt
1
2
20
20
416
18(本题满分10分)
计算maxxy1dxdy,其中Dxy0x20y2.
D
【考点】二重积分的性质、二重积分的计算
【难易度】★★★
【详解】
解析:方法一:画出积分区域即可求解
maxxy1dxdy
D
1
2dx
0
2
1dy
0
2
1dx
2
1
x1dy
0
2
1dx
2
21x
xydy
1
2
l
2
154
lr