习题62
捕鱼业的持续收获的综合评估
摘要
本题是对捕鱼业的持续发展进行综合评估，考察一个渔场，
其中的鱼量在天然环境下按一定的规律增长，如果捕捞量恰好等
于增长量，那么鱼量将保持不变，这个捕捞量将持续下去。本题
针对以上问题建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，得到平衡
点（渔场的稳定鱼量），分析鱼量保持稳定的条件，并且在稳定
的前提下，讨论如何控制捕捞，使持续产量达到最大，最后研究
所谓捕捞过度的问题。建立Gompertz模型，考虑在捕捞量稳定
的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳，用Matlab软
件作出鱼量捕捞量的图像，由图像得出稳定平衡点、最大捕
捞强度及捕捞的最大持续产量。
关键词：持续收获捕捞量增长量平衡点
Gompertz模型
最大捕捞强度稳定解
一、问题引入
（1）问题重述
已知某渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz模
型：
，其中是固有增长率，是环境容许的最大鱼
量。并且单位时间捕捞量为
，其中比例常数表示单位时
间捕捞率，又称捕捞强度。现要求：（1）建立在捕捞情况下渔
场鱼量的数学模型，讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性；（2）
f在鱼量稳定的前提下，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平。（2）背景介绍
再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）是我们一直关注的问题，如何使再生资源可持续发展是我们亟待解决的问题。再生资源应要进行适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。结合所学数学知识，微分方程的平衡点可分为稳定和不稳定两种。当轻轻扰动平衡点时，系统状态就会剧烈变化。若新的状态决不会回到原平衡点，此点就是不稳定的；相反，如果一个系统在稳定平衡点附近受到干扰，它总是企图回到平衡点，那么此点就是稳定的。用这一数学工具可以解决诸如渔场鱼量等一系列实际问题。
二、问题分析问题一：捕鱼业的持续收获，就是渔场鱼量保持不变，那么保持鱼量稳定的条件有哪些？渔场鱼量在天然环境下按一定的规律增长，如果单位时间内捕捞量hx恰好等于增长量fx，那么渔场鱼量将保持不变。因此就需要知道单位时间的捕捞量h（x）和增长量f（x）在无捕
捞条件下，鱼量xt的增长服从Gompertz规律即
。
其中r是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量。由单位时间捕
捞量hx与渔场鱼量x（t）成正比可得出hx得出捕捞情
况下渔场鱼量满足F（x）fxhx
f问题二：在稳定的前提下如何控制捕捞量使持续产量最大在捕捞量稳定r