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导数的应用
利用导数判断函数的单调性
学习目标：1理解导数与函数单调性的关系2掌握利用导数判断函数单调性的方法．重点3能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．难点自主预习探新知函数的单调性与导函数正负的关系导数值＞0＜0切线的斜率＞0＜0倾斜角锐角钝角曲线的变化趋势上升下降函数的单调性单调递增单调递减
思考1：观察下列各图，完成表格内容．函数及其图象切线斜率k正负导数正负单调性1，＋∞上单调递增
正
正
正
正
R上单调递增
负
负
0，＋∞上单调递减0，＋∞上单调递减－∞，0上单调递减
负
负
负
负
思考2：在区间a，b上，如果f′x＞0，则fx在该区间是增函数，反过来也成立吗？
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f提示
不一定成立．例如fx＝x3在R上为增函数，但f′0＝0，即f′x
＞0是fx在该区间上为增函数的充分不必要条件．基础自测1．思考辨析1函数fx在区间a，b内单调递增，则f′x＞0
2一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”向上或向下；反之，函数的图象就比较“平缓”．
3函数y＝ex＋x在R上是增函数．提示2√1×3√
f′x≥0且f′x不恒为0
2．函数fx＝ex－x的单调递增区间是A．－∞，1C．－∞，0

B．1，＋∞D．0，＋∞
D由f′x＝ex－1＞0得x＞0，故选D3．若函数y＝x3＋ax在R上是增函数，则a的取值范围是________．0，＋∞∵y′＝3x2＋a且y＝x3＋ax在R上是增函数．∴3x2＋a≥0在R上恒成立，即a≥－3x2在R上恒成立．∴a≥－3x2max，∴a≥0合作探究攻重难
判断或证明函数的单调性判断y＝ax3－1a∈R在－∞，＋∞上的单调性【导学号：73122243】思路探究求导数→对a进行分类讨论→
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f每种情况下确定函数在－∞，＋∞上的单调性解∵y′＝3ax2，又x2≥0
1当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增；2当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减；3当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．
规律方法
判断函数单调性的方法有两种：
1利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1x2，通过判断fx1－fx2的符号确定函数的单调性；2利用导数判断可导函数fx在a，b内的单调性，步骤是：①求f′x；②确定f′x在a，b内的符号；③得出结论提醒：所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行跟踪训练1．证明函数y＝l
x＋x在r