e

x2
22
dx
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f20132014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（一）答案

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22
令u
x
xe
dx

x2
22
d，x

，则du


，代入上式，得
u22
2EY2
ue
0
22due2
u2


0
2

，
EY2EXDX2，
2

所以，DYEYEY
2

2
222．1
2
2
五．（本题满分8分）设甲、乙两种电器的使用寿命X与Y都服从指数分布，其密度函数分别为
exfXx0
x0x0
与
eyfYy0
y0y0
其中0，0都是参数．并且X与Y相互独立．试求甲种电器的使用寿命不超过乙种电器的使用寿命的概率．解：
因为随机变量X与Y相互独立，所以XY的联合密度函数
fxexyx0yfXxfYy其它0y0
．
所求概率为PXY，则有
PXY

xy
fx
y
ydxdydxexydy
0x


e
0
x
dxe
x
dye
0

x
e
yx
dxexdx
0



e
x


0

．
六．（本题满分8分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为70件、20件、10件．现从中抽取一件产品，记
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f20132014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（一）答案
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1若抽到为一等品X其它0
1若抽到为二等品Y其它0
试求X与Y的相关系数，并判断X与Y是否相互独立？解：
X，Y的联合分布律及各自的边缘分布律为
Y
X
0
1
pi
01
0107
020
0307
pj
08
02
所以，EX07，DX021，EY02，DY016．又
EXY0，
所以，covX，YEXYEXEY014

covX，YDXDY
01407638，021016
由于0，所以随机变量X与Y相关，从而随机变量X与Y不独立．
七．（本题满分8分）设随机变量X与Y满足：EX2，EY3，DX4，DY16，EXY14，试用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计概率P3X2Y3r