第四章第一节
函数的连续性
连续性概念
1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：
1；（2）fxx。x1证：（1）fx的定义域为D00，当xx0D时，有x
（1）
fx
xx011xx0xx0
故当xx0x0时，有
由三角不等式可得：xx0xx0，
11xx0x0
xx0
2
xx0x0
x02对任意给的正数，取0则x0，当xD且xx0时，1x0
有
fxfx0
11xx0
可见
fx在x0连续，由x0的任意性知：fx在其定义域内连续。
2fxx的定义域为对任何的x0，由于
xx0xx0，从而对任给正数，取，当xx0时，
有故
fxfx0xx0xx0
fx在x0连续，由x0的任意性知，fx在连续。
2．指出函数的间断点及类型：（1）fxx
1si
x；（2）fx；（3）fxcosx；xx
（4）fxsg
x；（5）fxsg
cosx；
1x7x7xx为有理数7x1（6）fx；（7）fxxxx为无理数1x1si
1xx1
f解：（1）fx在x0间断，由于limx
1不存在，故x0是fx的第二类间断点。xxsi
xfxlim1，（2）fx在x0间断，由于limx0x0xsi
xlimfxlim1故x0是fx的跳跃间断点。x0x0x
由于
（3）fx在x
间断，
012
x

limfxlimcosx0，limfxlimcosx0
x
x
x

故
x
是fx的可去间断点
012。
x0x0
fxlimsg
x1，（4）fx在x0间断，由于lim
x0
limfxlimsg
x1，故x0是fx的可去间断点。
x0
（5）fx在x2k

2
k012间断，由于
l4imfx1，k1
2
x
lim4k1
2

fx1，
x
l4imfx1，k1
2

x

x
l4imfx1k1
2

故x2k

2
k012是fx的跳跃间断点。
xx0
（6）fx在x0的点间断且若x00，则limfx不存在，故x0是fx的第二类间断点。（7）fx在x7及
x1间断，且limfx7，limfx不存在，故x7是
x7xr