华东师大数学分析试题
一、(24分)计算题:
(1)求lim11;
x0l
1xx
(2)
求
cosxsi
3x1cos2xdx
(3)设zzxy是由方程Fxyzx2y2z20所确定的可微隐函数,
试求gradz。二、(14分)证明:
(1)
1
1
1
为递减数列:
(2)1l
111
12
1
三、(12分)设fx在ab中任意两点之间都具有介质性,而且f在
(a,b)内可导,fxK(K为正常数),xab
证明:f在点a右连续,在点b左连续。
四、(14
分)设
I
1
01
x2
dx
,证明:
1I
2
2
1I
1
23
fx
2I
2
12
3
五、(12分)设S为一旋转曲面,它由光滑曲线段
yfxxabz0fx0
绕x轴曲线旋转而成,试用二重积分计算曲面面积的方法,导出S的
面积公式为:
A
2
b
a
f
x
1fx2dx
1
f六、(24分)级数问题:
(1)设
si
xx0
f
x
x1x0
fk0k12
f
xxabf
xfx
11f
xfx
求
(2)设
1
a
收敛,
lim
x
a
0
,证明:
1
a
a
1
1
a
。
(3)设f
x为ab上的连续函数序列,且f
xfx,xab,证明:若fx在ab上无零点,则当
充分大时,f
x在ab上
也无零点;并有11,xab。
f
xfx
2
f华东师范大学2000年数学分析解答
ta
gsha
0315
一、
⑴
1
limxl
1xlim
11x
lim
x
lim
1
1
x0xl
1x
x0
l
1x
x
x01xl
1xxx0l
1x112
1x
⑵
cosxsi
3xdx
cosx1cos2xdcosx
1cos2x
1cos2x
tt21
1t2
dt
t1t22t1t2dt
t
2t
1t2
dt
t22
l
1t2C
1cos2xl
1cos2xC2
⑶
zxzy
FxFz
FyF
yzF12xF2xyF12zF2
zxF12yF2xyF12zF2
gradz
zxzy
二、
⑴欲证111
112
,即
1
2
1
1
1
1
2
1
因此,令x1
x2
x
1
1
1
x
2
1。由
2x1x2x
2
1
21
1
,
x1x2
x
2
即得
2
1
1
1
1
11
2
1
1
3
f
2
2。
11
1
1
⑵由⑴与
1
1
为递增数列,得到
111
e11
1
l
111
1l
11
l
111l
111。
1
三、证明:
0,当xaa时,若fxfa,则f在a右连续。2K
否则,x0aa,使fx0fa(不妨设fx0fa)。
满足:
fx0
fa,
fa
。2
由介值性,x1ax0,使fx1。于是对于一切xaa,有
fxfafxfx1fx1fa
fxx1faK
2K2所以f在a点右连续。同理可证f在b左连续。
四、⑴证明:
1
1
因为I
1x2
dxr