华东师大数学分析试题
一、（24分）计算题：
（1）求lim11；
x0l
1xx
（2）
求
cosxsi
3x1cos2xdx
（3）设zzxy是由方程Fxyzx2y2z20所确定的可微隐函数，
试求gradz。二、（14分）证明：
（1）
1
1

1


为递减数列：
（2）1l
111
12

1


三、（12分）设fx在ab中任意两点之间都具有介质性，而且f在
（a，b）内可导，fxK（K为正常数），xab
证明：f在点a右连续，在点b左连续。
四、（14
分）设
I


1
01
x2
dx
，证明：
1I


2
2
1I
1


23
fx
2I
2
12
3

五、（12分）设S为一旋转曲面，它由光滑曲线段
yfxxabz0fx0
绕x轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S的
面积公式为：
A

2
b
a
f
x
1fx2dx
1
f六、（24分）级数问题：
（1）设
si
xx0
f
x

x1x0

fk0k12
f
xxabf
xfx
11f
xfx
求



（2）设

1
a

收敛，
lim
x

a


0
，证明：

1

a


a
1


1
a

。
（3）设f
x为ab上的连续函数序列，且f
xfx，xab，证明：若fx在ab上无零点，则当
充分大时，f
x在ab上
也无零点；并有11，xab。
f
xfx
2
f华东师范大学2000年数学分析解答
ta
gsha
0315
一、
⑴
1
limxl
1xlim
11x
lim
x
lim
1
1
x0xl
1x
x0
l
1x
x
x01xl
1xxx0l
1x112
1x
⑵
cosxsi
3xdx
cosx1cos2xdcosx
1cos2x
1cos2x

tt21
1t2
dt

t1t22t1t2dt

t
2t
1t2
dt

t22
l
1t2C
1cos2xl
1cos2xC2
⑶
zxzy
FxFz
FyF
yzF12xF2xyF12zF2
zxF12yF2xyF12zF2


gradz
zxzy
二、
⑴欲证111
112
，即
1

2
1
1
1
1




2


1
因此，令x1

x2

x
1
1
1
x
2
1。由

2x1x2x
2

1


21
1
，
x1x2
x
2
即得

2
1
1

1

1




11

2

1
1


3
f


2

2。

11
1

1
⑵由⑴与
1

1


为递增数列，得到


111
e11
1




l
111
1l
11



l
111l
111。

1
三、证明：
0，当xaa时，若fxfa，则f在a右连续。2K
否则，x0aa，使fx0fa（不妨设fx0fa）。
满足：
fx0


fa，
fa

。2
由介值性，x1ax0，使fx1。于是对于一切xaa，有
fxfafxfx1fx1fa
fxx1faK
2K2所以f在a点右连续。同理可证f在b左连续。
四、⑴证明：
1
1
因为I
1x2
dxr